白玉2個と黒玉3個が入った袋から、2個の玉を同時に取り出すとき、出る白玉の個数を確率変数$X$とする。$X$の分散を求めよ。ただし、$X$の確率分布は以下の表で与えられている。 | $X$ | 0 | 1 | 2 | 計 | |---|---|---|---|---| | $P$ | $\frac{3}{10}$ | $\frac{5}{10}$ | | 1 |

1. 問題の内容

白玉2個と黒玉3個が入った袋から、2個の玉を同時に取り出すとき、出る白玉の個数を確率変数$X$とする。$X$の分散を求めよ。ただし、$X$の確率分布は以下の表で与えられている。

| $X$ | 0 | 1 | 2 | 計 |

|---|---|---|---|---|

| $P$ | $\frac{3}{10}$ | $\frac{5}{10}$ | | 1 |

2. 解き方の手順

まず、$X=2$となる確率を求める。確率の総和は1であるから、

$P(X=2) = 1 - P(X=0) - P(X=1) = 1 - \frac{3}{10} - \frac{5}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

次に、$X$の期待値$E(X)$を計算する。

$E(X) = 0 \cdot P(X=0) + 1 \cdot P(X=1) + 2 \cdot P(X=2) = 0 \cdot \frac{3}{10} + 1 \cdot \frac{5}{10} + 2 \cdot \frac{2}{10} = \frac{5}{10} + \frac{4}{10} = \frac{9}{10}$

次に、$X^2$の期待値$E(X^2)$を計算する。

$E(X^2) = 0^2 \cdot P(X=0) + 1^2 \cdot P(X=1) + 2^2 \cdot P(X=2) = 0 \cdot \frac{3}{10} + 1 \cdot \frac{5}{10} + 4 \cdot \frac{2}{10} = \frac{5}{10} + \frac{8}{10} = \frac{13}{10}$

最後に、$X$の分散$V(X)$を計算する。

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{13}{10} - \left(\frac{9}{10}\right)^2 = \frac{13}{10} - \frac{81}{100} = \frac{130}{100} - \frac{81}{100} = \frac{49}{100}$

3. 最終的な答え

$\frac{49}{100}$