与えられた不等式 $\sqrt{x^2} \geq \frac{1}{x}$ を満たす $x$ の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $\sqrt{x^2} \geq \frac{1}{x}$ を満たす $x$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{x^2}$ は $|x|$ に等しいので、不等式は

$$|x| \geq \frac{1}{x}$$

となります。

$x > 0$ のとき、$|x| = x$ なので、

$$x \geq \frac{1}{x}$$

両辺に$x$を掛けると（$x>0$なので不等号の向きは変わらない）、

$$x^2 \geq 1$$

$$x^2 - 1 \geq 0$$

$$(x-1)(x+1) \geq 0$$

$x > 0$ なので、$x \geq 1$ となります。

次に、$x < 0$ のとき、$|x| = -x$ なので、

$$-x \geq \frac{1}{x}$$

両辺に$x$を掛けると（$x<0$なので不等号の向きが変わる）、

$$-x^2 \leq 1$$

$$x^2 \geq -1$$

$x$ が実数である限り、$x^2$ は常に $-1$ 以上なので、$x<0$ 全てが解となります。ただし、$x = 0$ は $\frac{1}{x}$ が定義されないため除きます。

したがって、解は $x \leq -1$ または $x \geq 1$ となります。$x<0$のとき不等式は常に成り立ち、$x>0$のとき$x\geq 1$となるため、解は$x<0$もしくは$x\geq 1$となります。しかし、$x<0$ のすべての $x$ が $-x \geq \frac{1}{x}$を満たすので，$x<0$ が解となります。$x=0$では、$1/x$が定義されないため、$x=0$は解に含まれません。

まとめると、$x < 0$ と $x \geq 1$ が解です。

3. 最終的な答え

$x < 0$ または $x \geq 1$