$\theta$ に関する方程式 $\cos 2\theta - 2\sin \theta + a = 0$ について、$\sin \theta = t$ とおくと、与えられた方程式が $t$ を用いた式に変形できる。その式を求め、$t$ の範囲、および $t$ の値に対応する $\theta$ の個数を考慮して、方程式を満たす $\theta$ の個数を、$a$ の値に応じて場合分けして答える。

1. 問題の内容

$\theta$ に関する方程式 $\cos 2\theta - 2\sin \theta + a = 0$ について、$\sin \theta = t$ とおくと、与えられた方程式が $t$ を用いた式に変形できる。その式を求め、$t$ の範囲、および $t$ の値に対応する $\theta$ の個数を考慮して、方程式を満たす $\theta$ の個数を、$a$ の値に応じて場合分けして答える。

2. 解き方の手順

まず、$\cos 2\theta - 2\sin \theta + a = 0$ を $\sin \theta = t$ を用いて書き換える。

$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ であるから、

$1 - 2\sin^2 \theta - 2\sin \theta + a = 0$

$1 - 2t^2 - 2t + a = 0$

$-2t^2 - 2t + 1 + a = 0$

$2t^2 + 2t - 1 = a$

$t = \sin \theta$ であるから、$-1 \le t \le 1$ である。

したがって、 3 は -、4 は 1、5 は 1である。

次に、$t = \pm 1$ を満たす $\theta$ の個数を考える。

$\sin \theta = 1$ を満たす $\theta$ は、$\theta = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$ ($n$ は整数) であり、区間 $[0, 2\pi)$ で考えると1個である。

$\sin \theta = -1$ を満たす $\theta$ は、$\theta = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$ ($n$ は整数) であり、区間 $[0, 2\pi)$ で考えると1個である。

したがって、6 は 1 である。

$-1 < t < 1$ を満たす $t$ に対して、$\sin \theta = t$ を満たす $\theta$ は、区間 $[0, 2\pi)$ で考えると2個存在する。

したがって、7 は 2 である。

$f(t) = 2t^2 + 2t - 1$ とおく。

$f(-1) = 2(-1)^2 + 2(-1) - 1 = 2 - 2 - 1 = -1$

$f(1) = 2(1)^2 + 2(1) - 1 = 2 + 2 - 1 = 3$

$f(t) = 2(t^2 + t) - 1 = 2(t + \frac{1}{2})^2 - 2(\frac{1}{4}) - 1 = 2(t + \frac{1}{2})^2 - \frac{3}{2}$

頂点は $(-\frac{1}{2}, -\frac{3}{2})$ である。

$a < -1$ のとき、$2t^2 + 2t - 1 < -1$ を満たす $-1 \le t \le 1$ は存在しないので、解の個数は0個。

$a = -1$ のとき、$t = -1$ が解。したがって解の個数は1個。

$-1 < a < -\frac{3}{2}$ のとき、解はない。

$a = -\frac{3}{2}$ のとき、解は $t = -\frac{1}{2}$ 。したがって解の個数は2個。

$-\frac{3}{2} < a < 3$ のとき、$-1 < t < 1$ となる $t$ が2つ存在するので、解の個数は4個。

$a = 3$ のとき、$t = 1$ が解。したがって解の個数は1個。

$a > 3$ のとき、解はない。

$f(-\frac{1}{2}) = -\frac{3}{2} = -1.5$

したがって、

$a < -1$ のとき、0個。8は-、9は1、10は1。

$-1 < a$ のとき、0個。11は-、12は1。

$a = -1$ のとき、1個。

$-\frac{3}{2} < a < -1$ のとき、2個。 13は-、14は3/2、15は-。

$a = 3$ のとき、1個。

$-\frac{3}{2} < a < 3$ のとき、4個。 16は3、17は/、18は2。

$a = -\frac{3}{2}$ のとき、2個。

$-1 < a < 3$ のとき、2個。19は-、20は1。

$f(0) = -1$, $f(0.5) = 2*(0.5)^2 + 2*0.5 - 1 = 0.5+1-1 = 0.5$.

$-\frac{3}{2} < a < -1$ のとき、4個.　間違い、

$a = -\frac{3}{2}$ のとき、2個.　

$-1 < a < 3$ のとき、4個。

1. -1, 3, 3 は３個。

2. 答え

1: 2

2: 1

3: -

4: 1

5: 1

6: 1

7: 2

8: -3

9: /

10: 2

11: 3

12: -3/2

13: -1

14: <

15: 3

16: 3

17: //

18: 2

19: -1

20: 3

21: -3

22: //

23: 2

24: <

25: 3