$k$ を整数とする。2次方程式 $(k+7)x^2 - 2(k+4)x + 2k = 0$ が異なる実数解をもつとき、$k$ の最小値と最大値を求めよ。

1. 問題の内容

$k$ を整数とする。2次方程式 $(k+7)x^2 - 2(k+4)x + 2k = 0$ が異なる実数解をもつとき、$k$ の最小値と最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

2次方程式が異なる実数解をもつための条件は、判別式 $D > 0$ であることである。ただし、$k+7=0$ の場合、つまり $k=-7$ の場合は2次方程式でなくなるので、場合分けが必要である。

(i) $k = -7$ のとき

与えられた方程式は $-2(-7+4)x + 2(-7) = 0$ となり、$6x - 14 = 0$ となる。

この方程式は $x = \frac{7}{3}$ という実数解を一つだけ持つので、異なる2つの実数解を持つという条件を満たさない。よって、$k = -7$ は不適である。

(ii) $k \neq -7$ のとき

与えられた方程式は2次方程式となるので、判別式を $D$ とすると、

$D = (-2(k+4))^2 - 4(k+7)(2k) = 4(k^2 + 8k + 16) - 8k(k+7) = 4(k^2 + 8k + 16 - 2k^2 - 14k) = 4(-k^2 - 6k + 16)$

$D > 0$ より、

$-k^2 - 6k + 16 > 0$

$k^2 + 6k - 16 < 0$

$(k+8)(k-2) < 0$

$-8 < k < 2$

$k$ は整数なので、$k = -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1$ である。

(i) より $k=-7$ は不適であるから、$k = -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1$ である。

したがって、$k$ の最小値は $-6$ であり、最大値は $1$ である。

3. 最終的な答え

最小値: -6

最大値: 1