$\triangle ABC$ において、辺 $BC$ 上に点 $D$ があり、$\angle B = 30^\circ$, $\angle ADC = 45^\circ$, $\angle C = 90^\circ$, $AC = 1$ である。 (1) $BD$ の長さを求めよ。 (2) $\sin 15^\circ$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、辺 $BC$ 上に点 $D$ があり、$\angle B = 30^\circ$, $\angle ADC = 45^\circ$, $\angle C = 90^\circ$, $AC = 1$ である。

(1) $BD$ の長さを求めよ。

(2) $\sin 15^\circ$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$\triangle ADC$ は $\angle C = 90^\circ$ の直角三角形で、$\angle ADC = 45^\circ$ なので、$\angle DAC = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$ となり、$\triangle ADC$ は直角二等辺三角形である。したがって、$AC = DC = 1$ である。

$\triangle ABC$ は $\angle C = 90^\circ$ の直角三角形であり、$\angle B = 30^\circ$ なので、$\angle BAC = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$ である。

したがって、$BC = \frac{AC}{\tan 30^\circ} = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \sqrt{3}$ である。

$BD = BC - DC = \sqrt{3} - 1$

(2)

$\angle ADB = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$ である。

$\angle BAD = 180^\circ - \angle B - \angle ADB = 180^\circ - 30^\circ - 135^\circ = 15^\circ$ である。

$\angle BAC = 60^\circ$ であり、$\angle DAC = 45^\circ$ なので、$\angle BAD = \angle BAC - \angle DAC = 60^\circ - 45^\circ = 15^\circ$ と考えても良い。

$\triangle ABD$ で正弦定理を用いると、

$\frac{AD}{\sin \angle B} = \frac{BD}{\sin \angle BAD}$

$AD = \sqrt{2}$ である。

$\frac{\sqrt{2}}{\sin 30^\circ} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sin 15^\circ}$

$\frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sin 15^\circ}$

$2\sqrt{2} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sin 15^\circ}$

$\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $BD = \sqrt{3} - 1$

(2) $\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$