$\theta$ に関する方程式 $\cos 2\theta - 2\sin\theta + a = 0$ について、$\sin\theta = t$ とおくことで、この方程式を $t$ と $a$ を用いた式に変形し、$-1 \leq t \leq 1$ の範囲で $t$ の値が与えられたとき、$\theta$ の値が何個存在するかを考慮して、元の方程式を満たす $\theta$ の個数を $a$ の値に応じて求める問題です。

1. 問題の内容

$\theta$ に関する方程式 $\cos 2\theta - 2\sin\theta + a = 0$ について、$\sin\theta = t$ とおくことで、この方程式を $t$ と $a$ を用いた式に変形し、$-1 \leq t \leq 1$ の範囲で $t$ の値が与えられたとき、$\theta$ の値が何個存在するかを考慮して、元の方程式を満たす $\theta$ の個数を $a$ の値に応じて求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\cos 2\theta - 2\sin\theta + a = 0$ を $\sin\theta = t$ を用いて変形します。$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$ なので、

$1 - 2\sin^2\theta - 2\sin\theta + a = 0$

$1 - 2t^2 - 2t + a = 0$

$2t^2 + 2t - 1 = a$

したがって、1に入る数字は2、2に入る数字は1です。

(2) $-1 \leq \sin\theta \leq 1$ であるから、 $-1 \leq t \leq 1$ となります。したがって、3に入る数字は-1、4と5に入る数字は1です。

(3) $t = \pm 1$ を満たす $\theta$ は $\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$ に対応するので、それぞれ1個ずつです。したがって、6に入る数字は1です。

$-1 < t < 1$ を満たす $\theta$ は、各 $t$ に対して2個ずつ存在します。したがって、7に入る数字は2です。

(4) $f(t) = 2t^2 + 2t - 1$ とおくと、$f'(t) = 4t + 2$ であり、$f'(t) = 0$ となるのは $t = -\frac{1}{2}$ のときです。

$f(-1) = 2 - 2 - 1 = -1$

$f(1) = 2 + 2 - 1 = 3$

$f(-\frac{1}{2}) = 2(\frac{1}{4}) + 2(-\frac{1}{2}) - 1 = \frac{1}{2} - 1 - 1 = -\frac{3}{2}$

したがって、$f(t)$ の値域は $-\frac{3}{2} \leq a \leq 3$ です。

(5) $a < -\frac{3}{2}$ または $3 < a$ のとき、解は0個です。したがって、8に入る数字は3、9に入る数字は/、10に入る数字は2、11に入る数字は3です。

$a = -\frac{3}{2}$ のとき、$t = -\frac{1}{2}$ であり、このとき解は2個です。しかし$-\frac{3}{2}$と表示できないので、答えは後回し。

$a = -1$ または $a = 3$ のとき、解は1個です。したがって、12に入る数字は-1です。

$-1 < a < 3$ のとき、$t$ に関する方程式は2つの解を持ち、それぞれが $-1 < t < 1$ を満たす場合、解は4個となります。

-1 < $a$ < -3/2 のとき、$t$に関して一つの解は$t < -1$、もう一つの解は$-1 < t < 1$。$a$の条件からあり得ない。

$-3/2$ < $a$ < -1 のとき、$t$に関して二つの解は$-1 < t < -1/2$、$-1/2 < t < 1$。したがって、解は4個。

$a=-3/2$ のとき、$t=-1/2$、解は2個

$a=-1$のとき、$t=-1$、解は1個

$2t^2 + 2t - 1 = a$のとき、$t = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 8(1+a)}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{3 + 2a}}{2}$

解の個数と$a$の関係

- $a < -3/2$ のとき、0個

- $a = -3/2$ のとき、$t = -1/2$。解は2個ではない。

- $-3/2 < a < -1$ のとき、4個

- $a = -1$ のとき、$t=-1$ と $t=0$。解は3個。

- $-1 < a < 3$ のとき、4個ではない。

- $a=3$ のとき、解は1個

したがって、

$a=-1$のとき、$t=0, -1$。解は3個

$a=3$のとき、$t=1$。解は1個。

13=-3、14//、15=2

16=3、17//、18=2

19=-1、20//

21=-3、22//

23=2、24//、25=-1

3. 最終的な答え

1: 2

2: 1

3: -1

4: <=

5: 1

6: 1

7: 2

8: 3

9: /

10: 2

11: 3

12: -1

13: -3

14: /

15: 2

16: 3

17: /

18: 2

19: -1

20: /

21: -3

22: /

23: 2

24: /

25: -1