与えられた方程式 $sin^2 x - cos2x - a sin2x = -2$ (①)について、以下の問いに答えます。ただし、$0 < x < \frac{\pi}{2}$ であり、$a$ は実数の定数とします。 (1) $a = 3$ のとき、$\tan x$ の値を求めます。 (2) 方程式①の異なる解の個数を求めます。

1. 問題の内容

与えられた方程式 $sin^2 x - cos2x - a sin2x = -2$ (①)について、以下の問いに答えます。ただし、$0 < x < \frac{\pi}{2}$ であり、$a$ は実数の定数とします。

(1) $a = 3$ のとき、$\tan x$ の値を求めます。

(2) 方程式①の異なる解の個数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $a = 3$ のとき

与えられた方程式に $a = 3$ を代入します。

$sin^2 x - cos2x - 3 sin2x = -2$

ここで、$cos2x = 1 - 2 sin^2 x$ および $sin2x = 2 sin x cos x$ を用いて、式を書き換えます。

$sin^2 x - (1 - 2 sin^2 x) - 3 (2 sin x cos x) = -2$

$sin^2 x - 1 + 2 sin^2 x - 6 sin x cos x = -2$

$3 sin^2 x - 6 sin x cos x + 1 = 0$

両辺を $cos^2 x$ で割ります（$0 < x < \frac{\pi}{2}$ なので、$cos x \neq 0$）。

$3 \frac{sin^2 x}{cos^2 x} - 6 \frac{sin x}{cos x} + \frac{1}{cos^2 x} = 0$

ここで、$tan x = \frac{sin x}{cos x}$ および $\frac{1}{cos^2 x} = 1 + tan^2 x$ を用いて、式を書き換えます。

$3 tan^2 x - 6 tan x + 1 + tan^2 x = 0$

$4 tan^2 x - 6 tan x + 1 = 0$

この二次方程式を $tan x$ について解きます。

$tan x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(4)(1)}}{2(4)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16}}{8} = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{8} = \frac{6 \pm 2 \sqrt{5}}{8} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{4}$

$0 < x < \frac{\pi}{2}$ より、$tan x > 0$ であるため、解はどちらも条件を満たします。

(2) 方程式①の異なる解の個数

方程式①を次のように変形します。

$sin^2 x - cos2x - a sin2x = -2$

$sin^2 x - (1 - 2 sin^2 x) - a (2 sin x cos x) = -2$

$3 sin^2 x - 2a sin x cos x + 1 = 0$

両辺を $cos^2 x$ で割ります。

$3 tan^2 x - 2a tan x + (1 + tan^2 x) = 0$

$4 tan^2 x - 2a tan x + 1 = 0$

$tan x = t$ とおくと、$4t^2 - 2at + 1 = 0$ となります。

この二次方程式の判別式を $D$ とすると、$D = (-2a)^2 - 4(4)(1) = 4a^2 - 16 = 4(a^2 - 4)$ となります。

解の個数は、$D$ の符号によって決まります。

(i) $D > 0$ のとき ($a^2 > 4$、つまり $|a| > 2$)：異なる2つの実数解 $t_1, t_2$ を持ちます。

$0 < x < \frac{\pi}{2}$ なので、$t > 0$ である必要があります。

解と係数の関係より、$t_1 + t_2 = \frac{2a}{4} = \frac{a}{2}$、$t_1 t_2 = \frac{1}{4}$ となります。

$t_1 t_2 > 0$ より、$t_1$ と $t_2$ は同符号です。

$t_1 + t_2 = \frac{a}{2}$ より、$\frac{a}{2} > 0$ なので、$a > 0$ である必要があります。

したがって、$a > 2$ のとき、異なる2つの正の実数解を持つので、解は2個です。

また、$a < -2$ のとき、$t_1 + t_2 = \frac{a}{2} < 0$ となるので、正の解は存在せず、解は0個です。

(ii) $D = 0$ のとき ($a^2 = 4$、つまり $a = \pm 2$)：重解を持ちます。

$t = \frac{2a}{8} = \frac{a}{4}$ となります。

$a = 2$ のとき、$t = \frac{1}{2} > 0$ となり、解は1個です。

$a = -2$ のとき、$t = -\frac{1}{2} < 0$ となり、解は0個です。

(iii) $D < 0$ のとき ($a^2 < 4$、つまり $-2 < a < 2$)：実数解を持ちません。したがって、解は0個です。

まとめると、

$a > 2$ のとき、解は2個

$a = 2$ のとき、解は1個

$-2 \le a < 2$ のとき、解は0個

$a < -2$ のとき、解は0個

3. 最終的な答え

(1) $tan x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{4}$

(2)

$a > 2$ のとき、解は2個

$a = 2$ のとき、解は1個

$-2 \le a < 2$ のとき、解は0個

$a < -2$ のとき、解は0個