以下の3つの式を因数分解する問題です。 (1) $2x^3 + 3x^2 - 1$ (2) $x^3 - 5x^2 + 2x + 8$ (3) $x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6$

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

以下の3つの式を因数分解する問題です。

(1) $2x^3 + 3x^2 - 1$

(2) $x^3 - 5x^2 + 2x + 8$

(3) $x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x = -1$ を代入すると、

$2(-1)^3 + 3(-1)^2 - 1 = -2 + 3 - 1 = 0$

となるため、$x + 1$ を因数に持ちます。組み立て除法または筆算で割ると、

$2x^3 + 3x^2 - 1 = (x + 1)(2x^2 + x - 1)$

さらに、$2x^2 + x - 1$ を因数分解すると、

$2x^2 + x - 1 = (2x - 1)(x + 1)$

よって、

$2x^3 + 3x^2 - 1 = (x + 1)^2(2x - 1)$

(2)

$x = 2$ を代入すると、

$2^3 - 5(2^2) + 2(2) + 8 = 8 - 20 + 4 + 8 = 0$

となるため、$x - 2$ を因数に持ちます。組み立て除法または筆算で割ると、

$x^3 - 5x^2 + 2x + 8 = (x - 2)(x^2 - 3x - 4)$

さらに、$x^2 - 3x - 4$ を因数分解すると、

$x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1)$

よって、

$x^3 - 5x^2 + 2x + 8 = (x - 2)(x - 4)(x + 1)$

(3)

$x = 1$ を代入すると、

$1^4 - 1^3 - 7(1^2) + 1 + 6 = 1 - 1 - 7 + 1 + 6 = 0$

となるため、$x - 1$ を因数に持ちます。また、$x = -1$ を代入すると、

$(-1)^4 - (-1)^3 - 7(-1)^2 + (-1) + 6 = 1 + 1 - 7 - 1 + 6 = 0$

となるため、$x + 1$ を因数に持ちます。

したがって、$(x-1)(x+1)=x^2-1$ で割り切れるはずです。

実際に割ってみると

$x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6 = (x^2 - 1)(x^2 - x - 6)$

$x^2 - x - 6$を因数分解すると

$x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)$

よって、

$x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6 = (x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 2)$

3. 最終的な答え

(1) $(x + 1)^2(2x - 1)$

(2) $(x - 2)(x - 4)(x + 1)$

(3) $(x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 2)$