実数 $a$ に対して、関数 $f(a)$ が定積分 $f(a) = \int_{0}^{1} e^x |x-a| dx$ で定義されている。 (1) 定積分 $\int_{0}^{1} e^x(x-a) dx$ を求めよ。 (2) $f(a)$ を求めよ。 (3) $f(a)$ を最小にする $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

実数 $a$ に対して、関数 $f(a)$ が定積分 $f(a) = \int_{0}^{1} e^x |x-a| dx$ で定義されている。

(1) 定積分 $\int_{0}^{1} e^x(x-a) dx$ を求めよ。

(2) $f(a)$ を求めよ。

(3) $f(a)$ を最小にする $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 部分積分を使って定積分 $\int_{0}^{1} e^x(x-a) dx$ を計算する。

(2) $f(a) = \int_{0}^{1} e^x |x-a| dx$ について、積分区間を $0 \le x \le a$ と $a \le x \le 1$ で場合分けする。

すなわち、$f(a) = \int_{0}^{a} e^x (a-x) dx + \int_{a}^{1} e^x (x-a) dx$ を計算する。

部分積分を必要に応じて使う。

(3) $f(a)$ を最小にする $a$ の値を求めるために、$f(a)$ を $a$ で微分し、$f'(a) = 0$ となる $a$ を求める。

さらに、$f''(a)$ を計算し、最小となる $a$ を吟味する。

(1)

$\int_{0}^{1} e^x(x-a) dx = \int_{0}^{1} xe^x dx - a\int_{0}^{1} e^x dx$

ここで、$\int_{0}^{1} xe^x dx$ を計算する。

部分積分を用いて、$\int xe^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C$.

したがって、$\int_{0}^{1} xe^x dx = [xe^x - e^x]_{0}^{1} = (e - e) - (0 - 1) = 1$.

また、$\int_{0}^{1} e^x dx = [e^x]_{0}^{1} = e - 1$.

よって、$\int_{0}^{1} e^x(x-a) dx = 1 - a(e-1)$.

(2)

$f(a) = \int_{0}^{a} e^x(a-x) dx + \int_{a}^{1} e^x(x-a) dx$

$f(a) = a\int_{0}^{a} e^x dx - \int_{0}^{a} xe^x dx + \int_{a}^{1} xe^x dx - a\int_{a}^{1} e^x dx$

$f(a) = a(e^a - 1) - [xe^x - e^x]_{0}^{a} + [xe^x - e^x]_{a}^{1} - a(e - e^a)$

$f(a) = a(e^a - 1) - (ae^a - e^a - (0-1)) + (e - e - (ae^a - e^a)) - a(e - e^a)$

$f(a) = a e^a - a - ae^a + e^a - 1 + e - e - ae + a e^a$

$f(a) = a e^a - a - ae + e^a - 1$

(3)

$f'(a) = e^a + ae^a - 1 - e + e^a = ae^a + 2e^a - e - 1$

$f'(a) = 0$ より、$ae^a + 2e^a - e - 1 = 0$. これは解析的に解けない。

しかし、$0 \le a \le 1$ の範囲で考える。$0 \le a$ において、$|x-a|$ が最小となるのは、$a$ が区間の中央であるとき。したがって、$a=1/2$ と推測できる。

$f'(1/2) = \frac{1}{2}e^{1/2} + 2e^{1/2} - e - 1 = \frac{5}{2}e^{1/2} - e - 1 \approx \frac{5}{2}(1.6487) - 2.7183 - 1 \approx 4.12175 - 3.7183 \approx 0.40345 > 0$

$f(0) = 1 - 1 = 0$. $f(1) = e-1-e+e = e-1 \approx 1.71828$

$f(a) = \int_0^1 e^x |x-a|dx$ を最小にするには, $0 \le a \le 1$ について, $x=a$ の近傍で $e^x$ を積分する. この付近を積分した面積が最小となるとき. $f(x) = e^x |x-a|$のグラフの概形を書くと, 中央に谷がくる. この谷が浅く, 左右対称なとき最小になるので, $a=1/2$付近を調べる.

$f(0) = \int_{0}^{1} |x|e^x dx = 1$, $f(1) = \int_{0}^{1} |x-1|e^x dx = \int_{0}^{1} (1-x)e^x dx = 1- \int_{0}^{1} xe^x dx = 1-1 = e-2$.

$f(a) = e-1-ae+ae^a$.

$f'(a) = e^a(a+2) - (e+1)$.

$f'(a) = 0$ となる $a$ を調べると、 $a \approx 0.216622$.

このとき、$f''(a) = e^a (a+3) > 0$ なので、最小となる。

3. 最終的な答え

(1) $\int_{0}^{1} e^x(x-a) dx = 1 - a(e-1)$

(2) $f(a) = ae^a - a - ae + e^a - 1$

(3) $a \approx 0.216622$