$n$ を自然数とするとき、$y = \sin x$ の第 $n$ 次導関数を求める。

1. 問題の内容

$n$ を自然数とするとき、$y = \sin x$ の第 $n$ 次導関数を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\sin x$ の導関数をいくつか計算して、規則性を見つける。

$y = \sin x$

$y' = \cos x = \sin(x + \frac{\pi}{2})$

$y'' = -\sin x = \sin(x + \pi) = \sin(x + 2\frac{\pi}{2})$

$y''' = -\cos x = \sin(x + \frac{3\pi}{2})$

$y'''' = \sin x = \sin(x + 2\pi) = \sin(x + 4\frac{\pi}{2})$

上記から、$\sin x$ を微分するたびに、引数に $\frac{\pi}{2}$ が加算されていることがわかる。

したがって、第 $n$ 次導関数は、

$y^{(n)} = \sin(x + n\frac{\pi}{2})$ と推測できる。

これを数学的帰納法を用いて証明する。

(1) $n = 1$ のとき

$y' = \cos x = \sin(x + \frac{\pi}{2})$ となり、成り立つ。

(2) $n = k$ のとき、$y^{(k)} = \sin(x + k\frac{\pi}{2})$ が成り立つと仮定する。

(3) $n = k+1$ のとき

$y^{(k+1)} = \frac{d}{dx} y^{(k)} = \frac{d}{dx} \sin(x + k\frac{\pi}{2}) = \cos(x + k\frac{\pi}{2})$

$\cos(x + k\frac{\pi}{2}) = \sin((x + k\frac{\pi}{2}) + \frac{\pi}{2}) = \sin(x + (k+1)\frac{\pi}{2})$

したがって、$n = k+1$ のときも成り立つ。

(1)(2)(3)より、数学的帰納法によって、$y = \sin x$ の第 $n$ 次導関数は、$y^{(n)} = \sin(x + n\frac{\pi}{2})$ である。

3. 最終的な答え

$\sin(x + n\frac{\pi}{2})$