点 A(-1, 3) と点 B(5, 11) がある。 (1) 直線 $y=2x$ を軸として点 A と対称の位置にある点 C の座標を求める。 (2) 直線 $y=2x$ 上に点 P をとるとき、$PA + PB$ が最小になる点 P の座標を求める。

1. 問題の内容

点 A(-1, 3) と点 B(5, 11) がある。

(1) 直線 $y=2x$ を軸として点 A と対称の位置にある点 C の座標を求める。

(2) 直線 $y=2x$ 上に点 P をとるとき、$PA + PB$ が最小になる点 P の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1)

直線 $y=2x$ を $l$ とおく。点 A から直線 $l$ に下ろした垂線の足を H とおく。点 C は A の $l$ に関する対称点なので、AH = CH であり、AC は $l$ と直交する。

まず、直線 AH の傾きを求める。直線 $l$ の傾きは 2 なので、直線 AH の傾きは $-\frac{1}{2}$ である。

したがって、直線 AH の方程式は、

$y - 3 = -\frac{1}{2}(x + 1)$

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$

点 H は直線 $y = 2x$ 上にあるので、

$2x = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$

$\frac{5}{2}x = \frac{5}{2}$

$x = 1$

よって、H(1, 2) である。

点 C の座標を (x, y) とすると、H は AC の中点なので、

$\frac{x - 1}{2} = 1$ より $x = 3$

$\frac{y + 3}{2} = 2$ より $y = 1$

よって、C(3, 1) である。

(2)

点 A の直線 $y=2x$ に関する対称点を C とおく。このとき、C の座標は (1) で求めた通り C(3, 1) である。

$PA + PB$ が最小になるのは、点 P が線分 CB 上にあるときである。

直線 CB の方程式を求める。

傾きは $\frac{11 - 1}{5 - 3} = \frac{10}{2} = 5$

よって、直線 CB の方程式は

$y - 1 = 5(x - 3)$

$y = 5x - 14$

点 P は直線 $y=2x$ 上にあるので、

$2x = 5x - 14$

$3x = 14$

$x = \frac{14}{3}$

$y = 2x = \frac{28}{3}$

よって、P($\frac{14}{3}$, $\frac{28}{3}$) である。

3. 最終的な答え

(1) C(3, 1)

(2) P($\frac{14}{3}$, $\frac{28}{3}$)