問題は、平行四辺形ABCDがあり、その中に正三角形AEFとABGが存在するというものです。AB = AC = 10cm、AE = 8cmのとき、線分HFの長さを求める問題と、三角形ABEと三角形AGFが合同であることを証明する問題があります。

1. 問題の内容

問題は、平行四辺形ABCDがあり、その中に正三角形AEFとABGが存在するというものです。AB = AC = 10cm、AE = 8cmのとき、線分HFの長さを求める問題と、三角形ABEと三角形AGFが合同であることを証明する問題があります。

2. 解き方の手順

(1) 線分HFの長さを求める手順

まず、三角形AEFが正三角形であることから、AE = AF = EF = 8cmです。

次に、AB = 10cmであり、AC = ABであるので、AC = 10cmです。

したがって、FC = AC - AF = 10cm - 8cm = 2cmです。

平行四辺形ABCDの対角線はそれぞれの中点で交わるため、AH = HC = AC/2 = 10cm/2 = 5cmとなります。

HF = HC - FC = 5cm - 2cm = 3cmです。

(2) 三角形ABEと三角形AGFが合同であることを証明する手順

AB = AG (どちらも正三角形の一辺なので)

AE = AF (どちらも正三角形の一辺なので)

角BAE = 角BAG - 角EAG

角GAF = 角EAF - 角EAG

ここで、角EAF = 角BAG = 60°なので、角BAE = 角GAFです。

したがって、2辺とその間の角がそれぞれ等しいので、三角形ABEと三角形AGFは合同です。(二辺夾角相等)

3. 最終的な答え

(1) 線分HFの長さは3cmです。

(2) 三角形ABEと三角形AGFは合同です(証明は上記)。