長方形ABCDにおいて、$AC > 2AD$とする。Aを中心とする半径ADの円と対角線ACの交点をEとする。また、Cを中心とする半径BCの円と対角線AC, CDの交点をそれぞれF, Gとする。$AD = 4$ cmのとき、おうぎ形AEDとおうぎ形CFGの面積の和を$\pi$を用いて表す。

1. 問題の内容

長方形ABCDにおいて、$AC > 2AD$とする。Aを中心とする半径ADの円と対角線ACの交点をEとする。また、Cを中心とする半径BCの円と対角線AC, CDの交点をそれぞれF, Gとする。$AD = 4$ cmのとき、おうぎ形AEDとおうぎ形CFGの面積の和を$\pi$を用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、$AD = BC = 4$ cm である。また、長方形であるから、$∠ADC = 90^\circ$ である。

$AC$を計算する。

$AC > 2AD$より，$AC>8$である。

$∠DAC = \theta$とおくと、$∠BCA = \theta$である。

おうぎ形AEDの面積を$S_1$、おうぎ形CFGの面積を$S_2$とする。

$S_1 = \frac{1}{2} \times AD^2 \times \theta = \frac{1}{2} \times 4^2 \times \theta = 8\theta$

$S_2 = \frac{1}{2} \times BC^2 \times (\frac{\pi}{2} - \theta) = \frac{1}{2} \times 4^2 \times (\frac{\pi}{2} - \theta) = 8(\frac{\pi}{2} - \theta) = 4\pi - 8\theta$

$S_1 + S_2 = 8\theta + 4\pi - 8\theta = 4\pi$

角度$\theta$は必要ない。

3. 最終的な答え

$4\pi$ cm$^2$