直線 $x + my - 4 = 0$ が円 $x^2 + y^2 = 2$ に接するときの $m$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

直線 $x + my - 4 = 0$ が円 $x^2 + y^2 = 2$ に接するときの $m$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

円の中心 $(0, 0)$ と直線 $x + my - 4 = 0$ の距離が、円の半径 $\sqrt{2}$ に等しくなる条件を考えます。

点と直線の距離の公式より、距離 $d$ は

$d = \frac{|1 \cdot 0 + m \cdot 0 - 4|}{\sqrt{1^2 + m^2}} = \frac{|-4|}{\sqrt{1 + m^2}} = \frac{4}{\sqrt{1 + m^2}}$

これが円の半径 $\sqrt{2}$ に等しいので、

$\frac{4}{\sqrt{1 + m^2}} = \sqrt{2}$

両辺を2乗して、

$\frac{16}{1 + m^2} = 2$

$16 = 2(1 + m^2)$

$16 = 2 + 2m^2$

$14 = 2m^2$

$m^2 = 7$

$m = \pm \sqrt{7}$

3. 最終的な答え

$m = \pm \sqrt{7}$