以下の同次連立1次方程式の解を求める問題です。 $3x_1 + x_2 - 2x_3 - 7x_4 = 0$ $x_1 + x_3 - 3x_4 = 0$ $-2x_1 - x_2 + 3x_3 + 4x_4 = 0$

1. 問題の内容

以下の同次連立1次方程式の解を求める問題です。

$3x_1 + x_2 - 2x_3 - 7x_4 = 0$

$x_1 + x_3 - 3x_4 = 0$

$-2x_1 - x_2 + 3x_3 + 4x_4 = 0$

2. 解き方の手順

まず、与えられた連立方程式を行列で表現します。

$\begin{pmatrix} 3 & 1 & -2 & -7 \\ 1 & 0 & 1 & -3 \\ -2 & -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}$

この行列を簡約化します。

まず、1行目と2行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & -3 \\ 3 & 1 & -2 & -7 \\ -2 & -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}$

次に、2行目から1行目の3倍を引き、3行目に1行目の2倍を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & 1 & -5 & 2 \\ 0 & -1 & 5 & -2 \end{pmatrix}$

次に、3行目に2行目を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & 1 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

簡約化された行列に対応する方程式は次のようになります。

$x_1 + x_3 - 3x_4 = 0$

$x_2 - 5x_3 + 2x_4 = 0$

$x_3$と$x_4$を自由変数とします。$x_3 = s$, $x_4 = t$とすると、

$x_1 = -x_3 + 3x_4 = -s + 3t$

$x_2 = 5x_3 - 2x_4 = 5s - 2t$

したがって、解は次のようになります。

$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = s \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = s \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

（$s, t$ は任意の実数）