次の数列 $\{a_n\}$ の極限を求める問題です。 (1) $a_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$

1. 問題の内容

次の数列 $\{a_n\}$ の極限を求める問題です。

(1) $a_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$

2. 解き方の手順

(1) $a_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$ の極限を求める。

まず、$a_n$ を有理化します。

$a_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{(n+1) - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$

次に、極限を計算します。

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$

$n \to \infty$ のとき、$\sqrt{n+1} \to \infty$ かつ $\sqrt{n} \to \infty$ なので、$\sqrt{n+1} + \sqrt{n} \to \infty$ となります。

したがって、$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = 0$

3. 最終的な答え

(1) の答えは 0 です。