与えられた立方体に関して、以下の3つの問いに答えます。 (1) 対角線$AC$とねじれの位置にある辺の数を求めます。 (2) 頂点$A, C, F$を通る平面で切断したときの切り口の図形を答えます。 (3) 頂点$A, D, F$を通る平面で切断したときの切り口の図形を答えます。

1. 問題の内容

与えられた立方体に関して、以下の3つの問いに答えます。

(1) 対角線$AC$とねじれの位置にある辺の数を求めます。

(2) 頂点$A, C, F$を通る平面で切断したときの切り口の図形を答えます。

(3) 頂点$A, D, F$を通る平面で切断したときの切り口の図形を答えます。

2. 解き方の手順

(1) ねじれの位置とは、同一平面上にない、かつ平行でも交わってもいない辺のことです。

立方体の辺を一つずつ調べ、$AC$と平行、交わる、同一平面上にあるものを除外します。

$AC$と平行な辺は$FG$です。

$AC$と交わる辺は$AB$と$CD$です。

$AC$と同一平面上にある辺は$AD$, $BC$, $CG$, $AF$です。

残りの辺は$BF$, $DH$, $EH$, $EF$, $HG$です。

$AC$と$BF$, $EH$はねじれの位置にあります。

$AC$と$DH$, $EF$, $HG$もねじれの位置にあります。

よって、ねじれの位置にある辺は$BF$, $EH$, $DH$, $EF$, $HG$の5つです。

(2) 頂点$A, C, F$を通る平面で立方体を切断すると、切り口は三角形$ACF$になります。三角形$ACF$の3辺はそれぞれ立方体の面の対角線なので、すべて長さが等しくなります。したがって、切り口は正三角形です。

(3) 頂点$A, D, F$を通る平面で立方体を切断すると、切り口は三角形になります。

$A, D, F$は立方体の頂点であり、$AD$, $DF$は立方体の辺です。

$AF$は面$ABFE$の対角線です。

三角形$ADF$は、$AD=DF$である二等辺三角形です。

3. 最終的な答え

(1) 5

(2) 正三角形

(3) 二等辺三角形