問題は3つあります。 (1) 図1において、三角形ADOと三角形AFOが合同であることを証明する。 (2) 図2において、角BACが44°のとき、角BOCの大きさを求める。 (3) 図1において、AB = 13cm, BC = 10cm, AE = 12cmのとき、円Oの半径を求める。

1. 問題の内容

問題は3つあります。

(1) 図1において、三角形ADOと三角形AFOが合同であることを証明する。

(2) 図2において、角BACが44°のとき、角BOCの大きさを求める。

(3) 図1において、AB = 13cm, BC = 10cm, AE = 12cmのとき、円Oの半径を求める。

2. 解き方の手順

(1) 三角形ADOと三角形AFOの合同の証明

* 仮定より、AB = ACなので、三角形ABCは二等辺三角形。

* 円Oは辺AB, BC, ACとそれぞれ点D, E, Fで接しているので、OD, OE, OFは円Oの半径であり、OD ⊥ AB, OF ⊥ AC。

* したがって、角ADO = 角AFO = 90°。

* OAは共通。

* 円Oは辺AB、ACにそれぞれ点D,Fで接しているので、AD = AF。（円外の一点から引いた接線の長さは等しい）

* したがって、直角三角形ADOと直角三角形AFOにおいて、斜辺OAが共通で、AD=AFなので、三平方の定理よりOD=OF。

* よって、直角三角形ADOと直角三角形AFOにおいて、斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいので、三角形ADO ≡ 三角形AFO。

(2) 角BOCの大きさ

* 角BAC = 44°

* 三角形ABCはAB=ACの二等辺三角形なので、角ABC = 角ACB = $(180 - 44)/2 = 136/2 = 68$°。

* 点Oは内接円の中心なので、BOとCOはそれぞれ角ABCと角ACBの二等分線である。

* したがって、角OBC = 角OCB = $68/2 = 34$°。

* 三角形BOCにおいて、角BOC = $180 - (34 + 34) = 180 - 68 = 112$°。

(3) 円Oの半径

* AB = 13cm, BC = 10cm, AE = 12cm

* BE = AE = 12cm（円外の一点から引いた接線の長さは等しい）

* BC = BE + EC = 10cmなので、EC = 10 - 12 = -2cm。これはありえないのでBE = EC = 5cm.したがって、AE=BE=CEでAE=12cmは間違い。EC = BC/2 = 5cm. AE=xとすると、AB=AD+DBでAD=AE=x、BD=BE=5cm.

$13 = x + 5$なので$x=8$cm。したがって、$AE = 8$cm。

* 円Oの半径をrとする。三角形ABCの面積をSとする。

* S = $1/2 * BC * h$ (hはAからBCへの高さ)

* S = $1/2 * r * (AB + BC + CA)$ = $1/2 * r * (13 + 10 + 13) = 1/2 * r * 36 = 18r$

* ヘロンの公式より、$s=(13+13+10)/2=18$

* S = $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{18(18-13)(18-13)(18-10)} = \sqrt{18*5*5*8} = \sqrt{9*2*25*4*2} = 3*5*2*\sqrt{4} = 30*2 = 60$

* $18r = 60$

* $r = 60/18 = 10/3$cm。

3. 最終的な答え

(1) 三角形ADO ≡ 三角形AFO (証明は上記)

(2) 角BOC = 112°

(3) 円Oの半径 = 10/3 cm