与えられた式 $(x^4 + 3x^2 + 1) \div (x^2 + x + 1)$ を計算して、結果を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x^4 + 3x^2 + 1) \div (x^2 + x + 1)$ を計算して、結果を求める問題です。

2. 解き方の手順

多項式の割り算を行います。$x^4 + 3x^2 + 1$ を $x^2 + x + 1$ で割ります。

まず、$x^4 + 3x^2 + 1$ を $x^2$ でくくります。すると、

$x^4 + 3x^2 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1) + x^2$.

つまり、$x^4 + 3x^2 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 3) - x^3-3x^2 - x +1$

$x^4 + 3x^2 + 1 = x^4 + x^3 + x^2 - x^3 - x^2 -x + 3x^2 + 3x +3 = x^4 + 3x^2 + 2x +3$.

割り算を実行すると、

$$

\begin{array}{c|ccccc}

\multicolumn{2}{r}{x^2} & -x & +3 \\

\cline{2-6}

x^2+x+1 & x^4 & & +3x^2 & & +1 \\

\multicolumn{2}{r}{x^4} & +x^3 & +x^2 \\

\cline{2-4}

\multicolumn{2}{r}{0} & -x^3 & +2x^2 & & +1 \\

\multicolumn{2}{r}{} & -x^3 & -x^2 & -x \\

\cline{3-5}

\multicolumn{2}{r}{} & 0 & 3x^2 & +x & +1 \\

\multicolumn{2}{r}{} & & 3x^2 & +3x & +3 \\

\cline{4-6}

\multicolumn{2}{r}{} & & 0 & -2x & -2 \\

\end{array}

$$

よって、

$x^4 + 3x^2 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 3) - 2x - 2$.

または、

$x^4 + 3x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 + x^2 = (x^2 + 1)^2 + x^2 = (x^2 + 1)^2 + 2x^2 - 2x^2 + x^2 = (x^2 + 1)^2 + x^2$.

ここで、$x^4 + 3x^2 + 1 = (x^2 + 1)^2 + x^2 = x^4 + 2x^2 + 1 + x^2 = x^4 + 3x^2 + 1$.

$x^4 + 3x^2 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1) + (x^2+x+1) + x^2-x-1 +x^2+x+1 -x^2 -x -1 = (x^2 + x + 1)(x^2-x + 2 ) - 2x -2 -x^2 +2x -1= 0$

$x^4 + 3x^2 + 1 = (x^2+x+1)(x^2-x+2)-2x-1$

なので、 $(x^4 + 3x^2 + 1) \div (x^2 + x + 1) = x^2 - x + 2 + \frac{-2x-1}{x^2+x+1}$

割り算を実行して、

$x^4 + 3x^2 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 2) - 2x - 1$.

したがって、

$\frac{x^4 + 3x^2 + 1}{x^2 + x + 1} = x^2 - x + 2 + \frac{-2x - 1}{x^2 + x + 1}$.

3. 最終的な答え

$x^2 - x + 2 - \frac{2x+1}{x^2+x+1}$