与えられた多項式を因数分解する問題です。画像には12個の多項式が示されています。ここでは、例として、問題(1) $8x^3+125$、問題(4) $64x^3-27$、問題(7) $x^6-1$を因数分解します。

## 問題の回答

1. 問題の内容

与えられた多項式を因数分解する問題です。画像には12個の多項式が示されています。ここでは、例として、問題(1) $8x^3+125$、問題(4) $64x^3-27$、問題(7) $x^6-1$を因数分解します。

2. 解き方の手順

### 問題(1) $8x^3+125$ の因数分解

$8x^3$ は $(2x)^3$ と表せ、$125$ は $5^3$ と表せるので、この式は $a^3+b^3$ の形であるとわかります。$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ を利用します。

$a = 2x$, $b = 5$ を代入すると、

$8x^3+125 = (2x)^3 + 5^3 = (2x+5)((2x)^2 - (2x)(5) + 5^2)$

$= (2x+5)(4x^2 - 10x + 25)$

### 問題(4) $64x^3-27$ の因数分解

$64x^3$ は $(4x)^3$ と表せ、$27$ は $3^3$ と表せるので、この式は $a^3-b^3$ の形であるとわかります。$a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ を利用します。

$a = 4x$, $b = 3$ を代入すると、

$64x^3-27 = (4x)^3 - 3^3 = (4x-3)((4x)^2 + (4x)(3) + 3^2)$

$= (4x-3)(16x^2 + 12x + 9)$

### 問題(7) $x^6-1$ の因数分解

$x^6$ は $(x^3)^2$ または $(x^2)^3$ と表せ、$1$ は $1^2$ または $1^3$と表せるので、この式は $a^2-b^2$ または $a^3-b^3$ の形であるとわかります。まずは$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$を利用して因数分解します。

$x^6-1 = (x^3)^2 - 1^2 = (x^3+1)(x^3-1)$

次に、$x^3+1$ と $x^3-1$ を因数分解します。

$x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)$

$x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)$

したがって、

$x^6-1 = (x+1)(x^2-x+1)(x-1)(x^2+x+1) = (x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)$

3. 最終的な答え

(1) $8x^3+125 = (2x+5)(4x^2 - 10x + 25)$

(4) $64x^3-27 = (4x-3)(16x^2 + 12x + 9)$

(7) $x^6-1 = (x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)$