多項式の割り算の問題です。$x^4 + 3x^2 + 1$ を $x^2 + x + 1$ で割り、商と余りを求めます。

1. 問題の内容

多項式の割り算の問題です。$x^4 + 3x^2 + 1$ を $x^2 + x + 1$ で割り、商と余りを求めます。

2. 解き方の手順

多項式の筆算を行います。

まず、$x^4 + 3x^2 + 1$ を $x^2 + x + 1$ で割ることを考えます。

$x^4 + 3x^2 + 1$ を次数が降順になるように書き換えると、$x^4 + 0x^3 + 3x^2 + 0x + 1$ となります。

$x^2 + x + 1$ に $x^2$ をかけると $x^4 + x^3 + x^2$ となります。

$x^4 + 0x^3 + 3x^2 + 0x + 1$ から $x^4 + x^3 + x^2$ を引くと、$-x^3 + 2x^2 + 0x + 1$ となります。

次に、$x^2 + x + 1$ に $-x$ をかけると $-x^3 - x^2 - x$ となります。

$-x^3 + 2x^2 + 0x + 1$ から $-x^3 - x^2 - x$ を引くと、$3x^2 + x + 1$ となります。

最後に、$x^2 + x + 1$ に $3$ をかけると $3x^2 + 3x + 3$ となります。

$3x^2 + x + 1$ から $3x^2 + 3x + 3$ を引くと、$-2x - 2$ となります。

よって、商は $x^2 - x + 3$ で、余りは $-2x - 2$ となります。

3. 最終的な答え

商: $x^2 - x + 3$

余り: $-2x - 2$