不等式 $-x^2 + 4x + 5 < 0$ を解きます。

1. 問題の内容

不等式 $-x^2 + 4x + 5 < 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、不等式の両辺に $-1$ を掛けて、 $x^2$ の係数を正にします。不等号の向きが変わることに注意してください。

$x^2 - 4x - 5 > 0$

次に、左辺を因数分解します。

$(x - 5)(x + 1) > 0$

この不等式が成り立つのは、$x-5$ と $x+1$ が共に正であるか、共に負であるかのいずれかです。

(i) $x - 5 > 0$ かつ $x + 1 > 0$ の場合

$x > 5$ かつ $x > -1$ となるので、$x > 5$ です。

(ii) $x - 5 < 0$ かつ $x + 1 < 0$ の場合

$x < 5$ かつ $x < -1$ となるので、$x < -1$ です。

したがって、$x > 5$ または $x < -1$ が解となります。

3. 最終的な答え

$x < -1$ または $x > 5$