公比が正の数である等比数列があり、第3項が6、第5項が12である。 (1) 初項と公比を求める。 (2) 初項から第n項までの和を求める。 (3) 初項から第n項までの各項の平方の和を求める。

1. 問題の内容

公比が正の数である等比数列があり、第3項が6、第5項が12である。

(1) 初項と公比を求める。

(2) 初項から第n項までの和を求める。

(3) 初項から第n項までの各項の平方の和を求める。

2. 解き方の手順

(1) 初項を $a$、公比を $r$ とおく。第n項は $ar^{n-1}$ で表されるので、

第3項が6より、

$ar^2 = 6$ (1)

第5項が12より、

$ar^4 = 12$ (2)

(2) ÷ (1) より、

$\frac{ar^4}{ar^2} = \frac{12}{6}$

$r^2 = 2$

公比は正の数なので、

$r = \sqrt{2}$

(1)に代入して、

$a(\sqrt{2})^2 = 6$

$2a = 6$

$a = 3$

(2) 初項から第n項までの和 $S_n$ は、

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1} = \frac{3((\sqrt{2})^n - 1)}{\sqrt{2}-1}$

$S_n = \frac{3((\sqrt{2})^n - 1)(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{3((\sqrt{2})^n - 1)(\sqrt{2}+1)}{2-1}$

$S_n = 3((\sqrt{2})^n - 1)(\sqrt{2}+1) = 3(2^{n/2} - 1)(\sqrt{2}+1)$

(3) 初項から第n項までの各項の平方の和を求める。

各項を平方すると、初項 $a^2$、公比 $r^2$ の等比数列になる。

初項は $a^2 = 3^2 = 9$

公比は $r^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$

平方の和を $T_n$ とすると、

$T_n = \frac{a^2((r^2)^n - 1)}{r^2 - 1} = \frac{9(2^n - 1)}{2 - 1} = 9(2^n - 1)$

3. 最終的な答え

(1) 初項: 3, 公比: $\sqrt{2}$

(2) $3(2^{n/2}-1)(\sqrt{2}+1)$

(3) $9(2^n-1)$