$x$ の多項式 $f(x)$ の最高次の項の係数は 1 であり、$(x-1)f'(x) = 2f(x) + 8$ という関係が常に成り立つ。 (1) $f(x)$ は何次の多項式であるか。 (2) $f(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

$x$ の多項式 $f(x)$ の最高次の項の係数は 1 であり、$(x-1)f'(x) = 2f(x) + 8$ という関係が常に成り立つ。

(1) $f(x)$ は何次の多項式であるか。

(2) $f(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$f(x)$ の次数を $n$ とおく。

$f(x)$ の最高次の項の係数は 1 なので、$f(x) = x^n + \cdots$ と書ける。

このとき、$f'(x) = nx^{n-1} + \cdots$ となる。

与えられた関係式 $(x-1)f'(x) = 2f(x) + 8$ の左辺の最高次の項は $nx^n$ であり、右辺の最高次の項は $2x^n$ である。

したがって、$nx^n = 2x^n$ より $n = 2$ である。

よって、$f(x)$ は 2 次の多項式である。

(2)

$f(x)$ は 2 次の多項式であり、最高次の項の係数は 1 なので、$f(x) = x^2 + ax + b$ とおける。

このとき、$f'(x) = 2x + a$ である。

与えられた関係式に代入すると、

$(x-1)(2x+a) = 2(x^2+ax+b) + 8$

$2x^2 + ax - 2x - a = 2x^2 + 2ax + 2b + 8$

$2x^2 + (a-2)x - a = 2x^2 + 2ax + 2b + 8$

係数を比較すると、

$a-2 = 2a$ より $a = -2$

$-a = 2b + 8$ より $2 = 2b + 8$ なので、$2b = -6$ より $b = -3$

したがって、$f(x) = x^2 - 2x - 3$

3. 最終的な答え

(1) 2次

(2) $f(x) = x^2 - 2x - 3$