2次関数 $y=2x^2+8ax-2a-1$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) 放物線Cの頂点のy座標を求め、さらにその最大値を求めます。 (2) $-1 \le x \le 1$における最大値をM、最小値をmとするとき、$a > \frac{1}{2}$のときのMとmを求めます。 (3) $M-m=20$となるようなaの値を、小さい順に求めます。

1. 問題の内容

2次関数 $y=2x^2+8ax-2a-1$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) 放物線Cの頂点のy座標を求め、さらにその最大値を求めます。

(2) $-1 \le x \le 1$における最大値をM、最小値をmとするとき、$a > \frac{1}{2}$のときのMとmを求めます。

(3) $M-m=20$となるようなaの値を、小さい順に求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、2次関数を平方完成します。

$y = 2x^2 + 8ax - 2a - 1 = 2(x^2 + 4ax) - 2a - 1 = 2(x^2 + 4ax + 4a^2) - 8a^2 - 2a - 1 = 2(x+2a)^2 - 8a^2 - 2a - 1$

したがって、頂点の座標は$(-2a, -8a^2 - 2a - 1)$なので、頂点のy座標は$y = -8a^2 - 2a - 1$となります。

次に、頂点のy座標の最大値を求めます。

$y = -8a^2 - 2a - 1 = -8(a^2 + \frac{1}{4}a) - 1 = -8(a^2 + \frac{1}{4}a + \frac{1}{64}) + \frac{1}{8} - 1 = -8(a+\frac{1}{8})^2 - \frac{7}{8}$

これは上に凸な放物線なので、最大値は$-\frac{7}{8}$となります。

(2)

$a > \frac{1}{2}$のとき、軸は$x = -2a < -1$ なので、区間$-1 \le x \le 1$において、関数は単調増加します。

したがって、最大値Mは$x=1$のとき、$M = 2(1)^2 + 8a(1) - 2a - 1 = 2 + 8a - 2a - 1 = 6a + 1$となります。

最小値mは$x=-1$のとき、$m = 2(-1)^2 + 8a(-1) - 2a - 1 = 2 - 8a - 2a - 1 = -10a + 1$となります。

(3)

$M - m = (6a + 1) - (-10a + 1) = 16a$

$M - m = 20$となるので、$16a = 20$より、$a = \frac{20}{16} = \frac{5}{4}$

次に、$a < \frac{1}{2}$の場合を考えます。軸が区間内にある場合と、軸が$x=1$よりも大きい場合を考えますが、この場合は解がないと思われます。

軸$x = -2a$が$-1 \le -2a \le 1$ つまり $-1/2 \le a \le 1/2$のとき、

$M = \max\{6a+1, -10a+1\}$, $m = -8a^2 - 2a - 1$

$M-m = 20$

$6a+1 - (-8a^2 - 2a -1) = 20$ or $-10a+1 - (-8a^2-2a-1) = 20$

$8a^2+8a+2 = 20$, $8a^2 + 8a - 18 = 0$, $4a^2+4a-9 = 0$, $a=\frac{-4 \pm \sqrt{16+144}}{8} = \frac{-4\pm\sqrt{160}}{8}=\frac{-4 \pm 4\sqrt{10}}{8}=\frac{-1 \pm \sqrt{10}}{2}$

$-8a^2 -8a + 2 = 20$ $8a^2+8a+18=0$.

$M = 6a + 1, m = -10a + 1$の時、$M-m = 16a = 20, a = 5/4$

$M = -10a + 1, m = 6a + 1$の時、$M - m = -16a = 20, a = -5/4$

軸が区間外にある場合、$a < -1/2$の場合を考えると、軸が$x=1$より右にあるので区間で単調減少。

$M = 6a+1, m = -10a+1$となり$a = 5/4$

$-1/2 \le a \le 1/2$の場合、軸のときに最小。

$a = (-1-\sqrt{10})/2 < -1/2, a = (-1 + \sqrt{10})/2 > 1/2$

よって、$a=\frac{-1 - \sqrt{10}}{2}, a = \frac{5}{4}$.

3. 最終的な答え

7: イ

8: エ

9: ア

10: イ

11: イ

12: イ