初項が5、公比が3の等比数列において、初めて1000より大きくなるのは第何項かという問題です。等比数列の一般項を求め、それが1000より大きくなるような項数を求めます。

1. 問題の内容

初項が5、公比が3の等比数列において、初めて1000より大きくなるのは第何項かという問題です。等比数列の一般項を求め、それが1000より大きくなるような項数を求めます。

2. 解き方の手順

等比数列の一般項 $a_n$ は、初項を $a$、公比を $r$ とすると、

$a_n = a \cdot r^{n-1}$

で表されます。

この問題では、初項 $a = 5$、公比 $r = 3$ なので、一般項は

$a_n = 5 \cdot 3^{n-1}$

となります。

$a_n > 1000$ となる $n$ を求めるので、

$5 \cdot 3^{n-1} > 1000$

両辺を5で割ると、

$3^{n-1} > 200$

ここで、 $3^1 = 3$, $3^2 = 9$, $3^3 = 27$, $3^4 = 81$, $3^5 = 243$ となります。

したがって、$n-1 = 5$ のとき、$3^{n-1} = 243 > 200$ となるので、$n=6$

$n-1 = 4$ のとき、$3^{n-1} = 81 < 200$

よって、$n-1 \ge 5$ である必要があるので、$n \ge 6$。

したがって、第6項で初めて1000より大きくなります。

3. 最終的な答え

第6項