与えられた数学の問題は以下の3つの部分に分かれています。 (1) 2次方程式 $x^2 - x - 5 = 0$ の2つの解を$\alpha$, $\beta$とするとき、$\alpha + \beta$, $\alpha \beta$, $\alpha^2 + \beta^2$, $\alpha^3 + \beta^3$の値を求めます。 (2) 2次式 $2x^2 + 6x + 3$ を複素数の範囲で因数分解します。 (3) 2数 $-1+4i$ と $-1-4i$ を解にもつ2次方程式を1つ作ります。

1. 問題の内容

与えられた数学の問題は以下の3つの部分に分かれています。

(1) 2次方程式 $x^2 - x - 5 = 0$ の2つの解を$\alpha$, $\beta$とするとき、$\alpha + \beta$, $\alpha \beta$, $\alpha^2 + \beta^2$, $\alpha^3 + \beta^3$の値を求めます。

(2) 2次式 $2x^2 + 6x + 3$ を複素数の範囲で因数分解します。

(3) 2数 $-1+4i$ と $-1-4i$ を解にもつ2次方程式を1つ作ります。

2. 解き方の手順

(1)

(i) 解と係数の関係より、$\alpha + \beta = -\frac{-1}{1} = 1$

(ii) 解と係数の関係より、$\alpha \beta = \frac{-5}{1} = -5$

(iii) $(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$ より、$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = (1)^2 - 2(-5) = 1 + 10 = 11$

(iv) $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2) = (\alpha + \beta)(\alpha^2 + \beta^2 - \alpha\beta) = (1)(11 - (-5)) = 1(11 + 5) = 16$

(2)

まず、$2x^2 + 6x + 3 = 0$ を解きます。解の公式より、

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4(2)(3)}}{2(2)} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 24}}{4} = \frac{-6 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{3}}{2}$

よって、$2x^2 + 6x + 3 = 2(x - \frac{-3 + \sqrt{3}}{2})(x - \frac{-3 - \sqrt{3}}{2}) = 2(x + \frac{3 - \sqrt{3}}{2})(x + \frac{3 + \sqrt{3}}{2})$

(3)

2つの解が $-1+4i$ と $-1-4i$ なので、求める2次方程式は

$(x - (-1 + 4i))(x - (-1 - 4i)) = 0$

$(x + 1 - 4i)(x + 1 + 4i) = (x+1)^2 - (4i)^2 = x^2 + 2x + 1 - 16i^2 = x^2 + 2x + 1 + 16 = x^2 + 2x + 17 = 0$

3. 最終的な答え

(1)

(i) $\alpha + \beta = 1$

(ii) $\alpha \beta = -5$

(iii) $\alpha^2 + \beta^2 = 11$

(iv) $\alpha^3 + \beta^3 = 16$

(2)

$2(x + \frac{3 - \sqrt{3}}{2})(x + \frac{3 + \sqrt{3}}{2})$

(3)

$x^2 + 2x + 17 = 0$