(1) 次の2次方程式の解の種類を判別する。 (i) $2x^2 - 3x + 4 = 0$ (ii) $3x^2 + 4x - 1 = 0$ (iii) $x^2 + 2\sqrt{3}x + 3 = 0$ (2) 2次方程式 $x^2 - 2ax + a + 2 = 0$ が実数解をもつとき、定数 $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

(1) 次の2次方程式の解の種類を判別する。

(i) $2x^2 - 3x + 4 = 0$

(ii) $3x^2 + 4x - 1 = 0$

(iii) $x^2 + 2\sqrt{3}x + 3 = 0$

(2) 2次方程式 $x^2 - 2ax + a + 2 = 0$ が実数解をもつとき、定数 $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式の解の種類を判別するには、判別式 $D = b^2 - 4ac$ を計算します。

- $D > 0$ のとき、異なる2つの実数解を持つ。

- $D = 0$ のとき、重解を持つ。

- $D < 0$ のとき、異なる2つの虚数解を持つ。

(i) $2x^2 - 3x + 4 = 0$ について、 $a = 2$, $b = -3$, $c = 4$ なので、

$D = (-3)^2 - 4(2)(4) = 9 - 32 = -23$

$D < 0$ より、異なる2つの虚数解を持つ。

(ii) $3x^2 + 4x - 1 = 0$ について、$a = 3$, $b = 4$, $c = -1$ なので、

$D = 4^2 - 4(3)(-1) = 16 + 12 = 28$

$D > 0$ より、異なる2つの実数解を持つ。

(iii) $x^2 + 2\sqrt{3}x + 3 = 0$ について、$a = 1$, $b = 2\sqrt{3}$, $c = 3$ なので、

$D = (2\sqrt{3})^2 - 4(1)(3) = 12 - 12 = 0$

$D = 0$ より、重解を持つ。

(2) 2次方程式 $x^2 - 2ax + a + 2 = 0$ が実数解をもつためには、判別式 $D \ge 0$ である必要があります。

$D = (-2a)^2 - 4(1)(a + 2) = 4a^2 - 4a - 8$

$4a^2 - 4a - 8 \ge 0$

$a^2 - a - 2 \ge 0$

$(a - 2)(a + 1) \ge 0$

したがって、$a \le -1$ または $a \ge 2$

3. 最終的な答え

(1)

(i) 異なる2つの虚数解

(ii) 異なる2つの実数解

(iii) 重解

(2) $a \le -1$ または $a \ge 2$