2次関数 $f(x) = x^2 - 4ax + b$ があり、$y = f(x)$ のグラフは点 $(1, 1)$ を通る。 (1) $b$ を $a$ を用いて表す。 (2) $y = f(x)$ のグラフが $x$ 軸と接するとき、$a$ の値を求め、そのときの接点の座標を求める。 (3) $x \geq 1$ において、常に不等式 $f(x) > 0$ が成り立つとき、$a$ のとりうる値の範囲を求める。

はい、承知いたしました。問題の解答を以下に示します。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 4ax + b$ があり、$y = f(x)$ のグラフは点 $(1, 1)$ を通る。

(1) $b$ を $a$ を用いて表す。

(2) $y = f(x)$ のグラフが $x$ 軸と接するとき、$a$ の値を求め、そのときの接点の座標を求める。

(3) $x \geq 1$ において、常に不等式 $f(x) > 0$ が成り立つとき、$a$ のとりうる値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1)

点 $(1, 1)$ を通るので、$x = 1$, $y = 1$ を代入すると、

$1 = 1^2 - 4a(1) + b$

$1 = 1 - 4a + b$

$b = 4a$

(2)

$f(x) = x^2 - 4ax + b$ に $b = 4a$ を代入すると、

$f(x) = x^2 - 4ax + 4a$

グラフが $x$ 軸と接するので、判別式 $D = 0$ となる。

$D = (-4a)^2 - 4(1)(4a) = 16a^2 - 16a = 16a(a - 1) = 0$

よって、$a = 0, 1$

$a = 0$ のとき、$f(x) = x^2$ となり、接点は $(0, 0)$

$a = 1$ のとき、$f(x) = x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$ となり、接点は $(2, 0)$

(3)

$f(x) = x^2 - 4ax + 4a$

$f(x) = (x - 2a)^2 - 4a^2 + 4a$

軸は $x = 2a$ である。

場合1: $2a < 1$ つまり $a < \frac{1}{2}$ のとき

$x \geq 1$ で $f(x) > 0$ となるためには、$f(1) > 0$ であれば良い。

$f(1) = 1 - 4a + 4a = 1 > 0$

これは常に成り立つので、$a < \frac{1}{2}$

場合2: $2a \geq 1$ つまり $a \geq \frac{1}{2}$ のとき

$x \geq 1$ で $f(x) > 0$ となるためには、頂点の $y$ 座標が $0$ より大きければ良い。

$-4a^2 + 4a > 0$

$4a(1 - a) > 0$

$a(a - 1) < 0$

$0 < a < 1$

これと $a \geq \frac{1}{2}$ を満たす $a$ は、$\frac{1}{2} \leq a < 1$

上記の場合1と場合2を合わせると、$a < 1$

3. 最終的な答え

(1) $b = 4a$

(2) $a = 0$ のとき接点は $(0, 0)$、$a = 1$ のとき接点は $(2, 0)$

(3) $a < 1$