与えられた式の中で、因数分解できるものを因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式の中で、因数分解できるものを因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

(2) $125x^3 + 64$ は、和の3乗の公式 $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ を使えます。

$125x^3 = (5x)^3$ であり、$64 = 4^3$ であるので、 $a = 5x$ 、 $b = 4$ として適用します。

$125x^3 + 64 = (5x+4)((5x)^2 - (5x)(4) + 4^2) = (5x+4)(25x^2 - 20x + 16)$

(3) $8x^3 + 27y^3$ も、和の3乗の公式 $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ を使えます。

$8x^3 = (2x)^3$ であり、$27y^3 = (3y)^3$ であるので、$a = 2x$ 、 $b = 3y$ として適用します。

$8x^3 + 27y^3 = (2x+3y)((2x)^2 - (2x)(3y) + (3y)^2) = (2x+3y)(4x^2 - 6xy + 9y^2)$

(5) $8a^3 - 125b^6$ は、差の3乗の公式 $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ を使えます。

$8a^3 = (2a)^3$ であり、$125b^6 = (5b^2)^3$ であるので、$a = 2a$ 、 $b = 5b^2$ として適用します。

$8a^3 - 125b^6 = (2a-5b^2)((2a)^2 + (2a)(5b^2) + (5b^2)^2) = (2a - 5b^2)(4a^2 + 10ab^2 + 25b^4)$

(6) $125x^3 - 27y^3$ も、差の3乗の公式 $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ を使えます。

$125x^3 = (5x)^3$ であり、$27y^3 = (3y)^3$ であるので、$a = 5x$ 、 $b = 3y$ として適用します。

$125x^3 - 27y^3 = (5x-3y)((5x)^2 + (5x)(3y) + (3y)^2) = (5x-3y)(25x^2 + 15xy + 9y^2)$

(8) $x^9 - 64y^6$ は、差の2乗の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を使えます。

$x^9 = (x^{9/2})^2$ であり、$64y^6 = (8y^3)^2$ であるので、$a = x^{9/2}$ 、 $b = 8y^3$ として適用します。

または、差の3乗の公式 $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ を使えます。

$x^9 = (x^3)^3$ であり、$64y^6 = (4y^2)^3$ であるので、$a = x^3$ 、 $b = 4y^2$ として適用します。

$x^9 - 64y^6 = (x^3 - 4y^2)((x^3)^2 + (x^3)(4y^2) + (4y^2)^2) = (x^3 - 4y^2)(x^6 + 4x^3y^2 + 16y^4)$

(9) $64x^6 - 1$ は、差の2乗の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を使えます。

$64x^6 = (8x^3)^2$ であり、$1 = 1^2$ であるので、$a = 8x^3$ 、 $b = 1$ として適用します。

$64x^6 - 1 = (8x^3 - 1)(8x^3 + 1)$

$8x^3 - 1$ は、差の3乗の公式 $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ を使えます。$8x^3 = (2x)^3$ であり、$1 = 1^3$ であるので、$a = 2x$ 、 $b = 1$ として適用します。

$8x^3 - 1 = (2x-1)((2x)^2 + (2x)(1) + 1^2) = (2x-1)(4x^2 + 2x + 1)$

$8x^3 + 1$ は、和の3乗の公式 $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ を使えます。$8x^3 = (2x)^3$ であり、$1 = 1^3$ であるので、$a = 2x$ 、 $b = 1$ として適用します。

$8x^3 + 1 = (2x+1)((2x)^2 - (2x)(1) + 1^2) = (2x+1)(4x^2 - 2x + 1)$

$64x^6 - 1 = (2x-1)(4x^2 + 2x + 1)(2x+1)(4x^2 - 2x + 1)$

(11) $x^2 - 4xy - 32y^2$

和が -4 で、積が -32 となる2つの数を見つけます。それは、4 と -8 です。

$x^2 - 4xy - 32y^2 = (x + 4y)(x - 8y)$

(12) $x^2 - 16xy^3 + 64y^6$

$x^2 - 16xy^3 + 64y^6 = (x - 8y^3)^2$

3. 最終的な答え

(2) $(5x+4)(25x^2 - 20x + 16)$

(3) $(2x+3y)(4x^2 - 6xy + 9y^2)$

(5) $(2a - 5b^2)(4a^2 + 10ab^2 + 25b^4)$

(6) $(5x-3y)(25x^2 + 15xy + 9y^2)$

(8) $(x^3 - 4y^2)(x^6 + 4x^3y^2 + 16y^4)$

(9) $(2x-1)(4x^2 + 2x + 1)(2x+1)(4x^2 - 2x + 1)$

(11) $(x + 4y)(x - 8y)$

(12) $(x - 8y^3)^2$