(1) $t = \sin \theta + \cos \theta$ とおく。$\sin \theta \cos \theta$ を $t$ を用いて表せ。 (2) $0 \le \theta \le \pi$ のとき、$t = \sin \theta + \cos \theta$ のとりうる値の範囲を求めよ。 (3) $0 \le \theta \le \pi$ のとき、$\theta$ の方程式 $2\sin \theta \cos \theta - 2(\sin \theta + \cos \theta) - k = 0$ の解の個数を、定数 $k$ が $k=1$、$k=-1.9$ の2つの値の場合について調べよ。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(1) $t = \sin \theta + \cos \theta$ とおく。$\sin \theta \cos \theta$ を $t$ を用いて表せ。

(2) $0 \le \theta \le \pi$ のとき、$t = \sin \theta + \cos \theta$ のとりうる値の範囲を求めよ。

(3) $0 \le \theta \le \pi$ のとき、$\theta$ の方程式 $2\sin \theta \cos \theta - 2(\sin \theta + \cos \theta) - k = 0$ の解の個数を、定数 $k$ が $k=1$、$k=-1.9$ の2つの値の場合について調べよ。

2. 解き方の手順

(1)

$t = \sin \theta + \cos \theta$ の両辺を2乗すると、

$t^2 = (\sin \theta + \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = 1 + 2 \sin \theta \cos \theta$

よって、

$2 \sin \theta \cos \theta = t^2 - 1$

$\sin \theta \cos \theta = \frac{t^2 - 1}{2}$

(2)

$t = \sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4})$

$0 \le \theta \le \pi$ より、$\frac{\pi}{4} \le \theta + \frac{\pi}{4} \le \frac{5\pi}{4}$

したがって、$-1 \le \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) \le 1$

また、$\frac{\pi}{4} \le \theta + \frac{\pi}{4} \le \frac{5\pi}{4}$　であるから、$\sin(\theta + \frac{\pi}{4})$の最小値は、$\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$のとき、$- \frac{1}{\sqrt{2}}$であり、$\sin(\theta + \frac{\pi}{4})$の最大値は、$\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$のとき、$1$である。

よって、$-1 \le \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) \le 1$

したがって、$-\sqrt{2} \frac{1}{\sqrt{2}} \le \sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) \le \sqrt{2}$　より、$-1 \le t \le \sqrt{2}$

(3)

与えられた方程式は、

$2 \sin \theta \cos \theta - 2(\sin \theta + \cos \theta) - k = 0$

(1)と(2)の結果を用いると、

$t^2 - 1 - 2t - k = 0$

$t^2 - 2t - (1+k) = 0$

$t^2 - 2t + 1 = 2 + k$

$(t-1)^2 = 2 + k$

$t = 1 \pm \sqrt{2 + k}$

$t$ の範囲は $-1 \le t \le \sqrt{2}$ であるから、

$k = 1$ のとき、

$t = 1 \pm \sqrt{3}$

$t = 1 - \sqrt{3} \approx 1 - 1.73 = -0.73$

$t = 1 + \sqrt{3} \approx 1 + 1.73 = 2.73$

$-1 \le t \le \sqrt{2}$ を満たすのは $t = 1 - \sqrt{3}$ のみ。

$t = \sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = 1 - \sqrt{3}$

$\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = \frac{1 - \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \approx \frac{-0.73}{1.41} \approx -0.52$

$0 \le \theta \le \pi$ より、$\frac{\pi}{4} \le \theta + \frac{\pi}{4} \le \frac{5\pi}{4}$

$\sin x = -0.52$ となる $x$ は、第3象限と第4象限に存在するが、$\theta$ の範囲を考えると、第3象限に1つのみ存在する。

したがって、$\theta$ の個数は1個。

$k = -1.9$ のとき、

$t = 1 \pm \sqrt{2 - 1.9} = 1 \pm \sqrt{0.1} = 1 \pm \frac{\sqrt{10}}{10}$

$t = 1 + \frac{\sqrt{10}}{10} \approx 1 + \frac{3.16}{10} = 1.316$

$t = 1 - \frac{\sqrt{10}}{10} \approx 1 - \frac{3.16}{10} = 0.684$

$-1 \le t \le \sqrt{2}$ を満たすのは $t = 1 + \frac{\sqrt{10}}{10}$ と $t = 1 - \frac{\sqrt{10}}{10}$

$t = \sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4})$

$\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = \frac{1 + \frac{\sqrt{10}}{10}}{\sqrt{2}} \approx \frac{1.316}{1.414} = 0.93$

$\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = \frac{1 - \frac{\sqrt{10}}{10}}{\sqrt{2}} \approx \frac{0.684}{1.414} = 0.48$

$0 \le \theta \le \pi$ より、$\frac{\pi}{4} \le \theta + \frac{\pi}{4} \le \frac{5\pi}{4}$

$\sin x = 0.93$ となる $x$ は、第1象限と第2象限に存在する。$\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{5\pi}{4}$ であるから、$x = \theta + \frac{\pi}{4}$ は第1象限と第2象限に１つずつ存在する。

$\sin x = 0.48$ となる $x$ は、第1象限と第2象限に存在する。$\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{5\pi}{4}$ であるから、$x = \theta + \frac{\pi}{4}$ は第1象限と第2象限に１つずつ存在する。

したがって、$\theta$ の個数は2個。

3. 最終的な答え

(1) $\sin \theta \cos \theta = \frac{t^2 - 1}{2}$

(2) $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$

(3) $k = 1$ のとき、解の個数は1個。

$k = -1.9$ のとき、解の個数は2個。