$\lim_{x \to 0} \frac{\log_e(\cos^2 x)}{2x^2}$ を求めよ。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\log_e(\cos^2 x)}{2x^2}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\cos^2 x$ を $x = 0$ のまわりでTaylor展開します。

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \dots$ より、

$\cos^2 x = (1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \dots)^2 = 1 - x^2 + \frac{x^4}{3} - \dots$

次に、$\log_e(1+x)$ を $x = 0$ のまわりでTaylor展開します。

$\log_e(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$

したがって、

$\log_e(\cos^2 x) = \log_e(1 - x^2 + \frac{x^4}{3} - \dots) = (-x^2 + \frac{x^4}{3} - \dots) - \frac{(-x^2 + \frac{x^4}{3} - \dots)^2}{2} + \dots$

$\log_e(\cos^2 x) = -x^2 + O(x^4)$

$\lim_{x \to 0} \frac{\log_e(\cos^2 x)}{2x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-x^2 + O(x^4)}{2x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-x^2}{2x^2} = -\frac{1}{2}$

ロピタルの定理を使うこともできます。

$\lim_{x \to 0} \frac{\log_e(\cos^2 x)}{2x^2}$ は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。

$\frac{d}{dx} \log_e(\cos^2 x) = \frac{1}{\cos^2 x} \cdot 2\cos x \cdot (-\sin x) = -2\frac{\sin x}{\cos x} = -2\tan x$

$\frac{d}{dx} 2x^2 = 4x$

よって、$\lim_{x \to 0} \frac{-2\tan x}{4x} = \lim_{x \to 0} -\frac{1}{2} \frac{\tan x}{x} = -\frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{\log_e(\cos^2 x)}{2x^2} = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2}$