関数 $f(x) = |\sin{x}|$ が $x=0$ で連続かどうか調べる問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = |\sin{x}|$ が $x=0$ で連続かどうか調べる問題です。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が $x=a$ で連続であるためには、以下の3つの条件を満たす必要があります。

1. $f(a)$ が定義されている

2. $\lim_{x \to a} f(x)$ が存在する

3. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

今回は $a=0$ なので、それぞれの条件を確認します。

1. $f(0) = |\sin{0}| = |0| = 0$ より、$f(0)$ は定義されています。

2. $\lim_{x \to 0} |\sin{x}|$ の存在を調べます。

$x \to 0$ のとき $\sin{x} \to 0$ なので、$|\sin{x}| \to |0| = 0$ となります。

したがって、$\lim_{x \to 0} |\sin{x}| = 0$ が存在します。

3. $\lim_{x \to 0} |\sin{x}| = 0$ であり、$f(0) = 0$ なので、$\lim_{x \to 0} |\sin{x}| = f(0)$ が成り立ちます。

したがって、上記の3つの条件を満たすため、$f(x) = |\sin{x}|$ は $x=0$ で連続です。

3. 最終的な答え

$f(x) = |\sin{x}|$ は $x=0$ で連続である。