$\lim_{x \to \infty} (\frac{x}{x+1})^x$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} (\frac{x}{x+1})^x$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を変形します。

$\frac{x}{x+1} = \frac{x+1-1}{x+1} = 1 - \frac{1}{x+1}$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} (\frac{x}{x+1})^x = \lim_{x \to \infty} (1 - \frac{1}{x+1})^x$

次に、指数部分を調整します。$x+1$を分母に作ることを考えます。

$\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{1}{x+1})^x = \lim_{x \to \infty} (1 - \frac{1}{x+1})^{(x+1)-1} = \lim_{x \to \infty} (1 - \frac{1}{x+1})^{x+1} (1 - \frac{1}{x+1})^{-1}$

ここで、$\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{1}{x+1})^{x+1} = e^{-1}$ および $\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{1}{x+1})^{-1} = 1$であることを利用します。

$\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{1}{x+1})^{x+1} (1 - \frac{1}{x+1})^{-1} = e^{-1} \cdot 1 = e^{-1}$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} (\frac{x}{x+1})^x = e^{-1} = \frac{1}{e}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{e}$