定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 6 \sin^2 x \, dx$ を計算します。

## (3) の問題

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 6 \sin^2 x \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\sin^2 x$ を倍角の公式を使って変形します。

$\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$ より、$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ です。

これを用いて積分を計算します。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 6 \sin^2 x \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 6 \cdot \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx = 3 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (1 - \cos 2x) \, dx$

$= 3 \left[ x - \frac{1}{2} \sin 2x \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = 3 \left[ \left( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{2} \right) - \left( 0 - \frac{1}{2} \sin 0 \right) \right]$

$= 3 \left( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \cdot 1 \right) = \frac{3\pi}{4} - \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{3\pi}{4} - \frac{3}{2}$

## (4) の問題

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\log 3} 6 e^{2x} \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

$e^{2x}$ の積分は $\frac{1}{2} e^{2x}$ です。積分を実行し、積分範囲を代入して計算します。

$\int_{0}^{\log 3} 6 e^{2x} \, dx = 6 \int_{0}^{\log 3} e^{2x} \, dx = 6 \left[ \frac{1}{2} e^{2x} \right]_{0}^{\log 3} = 3 \left[ e^{2x} \right]_{0}^{\log 3}$

$= 3 \left( e^{2 \log 3} - e^{0} \right) = 3 \left( e^{\log 3^2} - 1 \right) = 3 \left( 3^2 - 1 \right) = 3 (9 - 1) = 3 \cdot 8 = 24$

3. 最終的な答え

$24$

## (5) の問題

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} x e^{-3x} \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を行います。$u = x$ 、$dv = e^{-3x} dx$ とおくと、$du = dx$ 、$v = -\frac{1}{3} e^{-3x}$ です。

$\int x e^{-3x} \, dx = x \left( -\frac{1}{3} e^{-3x} \right) - \int \left( -\frac{1}{3} e^{-3x} \right) \, dx = -\frac{1}{3} x e^{-3x} + \frac{1}{3} \int e^{-3x} \, dx$

$= -\frac{1}{3} x e^{-3x} + \frac{1}{3} \left( -\frac{1}{3} e^{-3x} \right) = -\frac{1}{3} x e^{-3x} - \frac{1}{9} e^{-3x}$

よって、

$\int_{0}^{1} x e^{-3x} \, dx = \left[ -\frac{1}{3} x e^{-3x} - \frac{1}{9} e^{-3x} \right]_{0}^{1} = \left( -\frac{1}{3} e^{-3} - \frac{1}{9} e^{-3} \right) - \left( 0 - \frac{1}{9} e^{0} \right)$

$= -\frac{1}{3} e^{-3} - \frac{1}{9} e^{-3} + \frac{1}{9} = -\frac{3}{9} e^{-3} - \frac{1}{9} e^{-3} + \frac{1}{9} = -\frac{4}{9} e^{-3} + \frac{1}{9} = \frac{1}{9} (1 - 4e^{-3})$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{9} (1 - 4e^{-3})$