以下の5つの問題を解きます。 (1) 曲線 $y = 3 - x^2$ の $x = 1$ における接線の方程式を求めます。 (2) 放物線 $y = \frac{1}{3}x^2$ と直線 $y = 2x$ で囲まれた部分の面積 $D$ を求めます。 (3) 放物線 $y = \frac{1}{3}x^2$ と直線 $y = 2x$ で囲まれた部分 $D$ を $x$ 軸の周りに回転してできる回転体の体積 $V_x$ を求めます。 (4) 関数 $y = \cos^2(6\pi x)$ の周期を求めます。 (5) 関数 $y = A\sin(2x)$ が $y'' + 3y = 10\sin(2x)$ を満たすように、定数 $A$ の値を定めます。

1. 問題の内容

以下の5つの問題を解きます。

(1) 曲線 $y = 3 - x^2$ の $x = 1$ における接線の方程式を求めます。

(2) 放物線 $y = \frac{1}{3}x^2$ と直線 $y = 2x$ で囲まれた部分の面積 $D$ を求めます。

(3) 放物線 $y = \frac{1}{3}x^2$ と直線 $y = 2x$ で囲まれた部分 $D$ を $x$ 軸の周りに回転してできる回転体の体積 $V_x$ を求めます。

(4) 関数 $y = \cos^2(6\pi x)$ の周期を求めます。

(5) 関数 $y = A\sin(2x)$ が $y'' + 3y = 10\sin(2x)$ を満たすように、定数 $A$ の値を定めます。

2. 解き方の手順

(1) 曲線 $y = 3 - x^2$ の $x = 1$ における接線の方程式を求めます。

まず、導関数を求めます。

$\frac{dy}{dx} = -2x$

$x = 1$ のとき、$\frac{dy}{dx} = -2(1) = -2$。これが接線の傾きです。

$x = 1$ のとき、$y = 3 - 1^2 = 2$。よって接点は $(1, 2)$ です。

接線の方程式は $y - 2 = -2(x - 1)$ より、$y = -2x + 4$ となります。

(2) 放物線 $y = \frac{1}{3}x^2$ と直線 $y = 2x$ で囲まれた部分の面積 $D$ を求めます。

まず、交点を求めます。

$\frac{1}{3}x^2 = 2x$

$x^2 = 6x$

$x^2 - 6x = 0$

$x(x - 6) = 0$

$x = 0, 6$

交点は $(0, 0)$ と $(6, 12)$ です。

面積は $\int_0^6 (2x - \frac{1}{3}x^2) dx$ で求められます。

$\int_0^6 (2x - \frac{1}{3}x^2) dx = [x^2 - \frac{1}{9}x^3]_0^6 = (6^2 - \frac{1}{9} \cdot 6^3) - (0) = 36 - \frac{216}{9} = 36 - 24 = 12$

(3) 放物線 $y = \frac{1}{3}x^2$ と直線 $y = 2x$ で囲まれた部分 $D$ を $x$ 軸の周りに回転してできる回転体の体積 $V_x$ を求めます。

回転体の体積は $\pi \int_0^6 ((2x)^2 - (\frac{1}{3}x^2)^2) dx$ で求められます。

$V_x = \pi \int_0^6 (4x^2 - \frac{1}{9}x^4) dx = \pi [\frac{4}{3}x^3 - \frac{1}{45}x^5]_0^6 = \pi (\frac{4}{3} \cdot 6^3 - \frac{1}{45} \cdot 6^5) = \pi (\frac{4 \cdot 216}{3} - \frac{7776}{45}) = \pi (288 - \frac{864}{5}) = \pi (\frac{1440 - 864}{5}) = \pi \frac{576}{5} = \frac{576\pi}{5}$

(4) 関数 $y = \cos^2(6\pi x)$ の周期を求めます。

$\cos^2(6\pi x) = \frac{1 + \cos(12\pi x)}{2}$

$\cos(12\pi x)$ の周期は $\frac{2\pi}{12\pi} = \frac{1}{6}$

したがって、$\cos^2(6\pi x)$ の周期も $\frac{1}{6}$ です。

(5) 関数 $y = A\sin(2x)$ が $y'' + 3y = 10\sin(2x)$ を満たすように、定数 $A$ の値を定めます。

$y = A\sin(2x)$

$y' = 2A\cos(2x)$

$y'' = -4A\sin(2x)$

$y'' + 3y = -4A\sin(2x) + 3A\sin(2x) = -A\sin(2x) = 10\sin(2x)$

$-A = 10$

$A = -10$

3. 最終的な答え

(1) $y = -2x + 4$

(2) $12$

(3) $\frac{576\pi}{5}$

(4) $\frac{1}{6}$

(5) $A = -10$