与えられた2つの定積分を計算します。 (1) $\int_0^{2\pi} (1 - \cos x)^2 dx$ (2) $\int_0^{2\pi} \sin^3(\frac{x}{2}) dx$

1. 問題の内容

与えられた2つの定積分を計算します。

(1) $\int_0^{2\pi} (1 - \cos x)^2 dx$

(2) $\int_0^{2\pi} \sin^3(\frac{x}{2}) dx$

2. 解き方の手順

(1)

まず、被積分関数 $(1-\cos x)^2$ を展開します。

$(1 - \cos x)^2 = 1 - 2\cos x + \cos^2 x$

次に、$\cos^2 x$ を半角の公式を用いて書き換えます。

$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$

したがって、被積分関数は次のようになります。

$1 - 2\cos x + \frac{1 + \cos 2x}{2} = \frac{3}{2} - 2\cos x + \frac{1}{2}\cos 2x$

これを積分すると、

$\int_0^{2\pi} (\frac{3}{2} - 2\cos x + \frac{1}{2}\cos 2x) dx = [\frac{3}{2}x - 2\sin x + \frac{1}{4}\sin 2x]_0^{2\pi}$

$= (\frac{3}{2}(2\pi) - 2\sin(2\pi) + \frac{1}{4}\sin(4\pi)) - (\frac{3}{2}(0) - 2\sin(0) + \frac{1}{4}\sin(0))$

$= 3\pi - 0 + 0 - (0 - 0 + 0) = 3\pi$

(2)

被積分関数 $\sin^3(\frac{x}{2})$ を、3倍角の公式を使って変形します。

$\sin(3\theta) = 3\sin(\theta) - 4\sin^3(\theta)$　より、 $\sin^3(\theta) = \frac{3\sin(\theta)-\sin(3\theta)}{4}$

$\sin^3(\frac{x}{2}) = \frac{3\sin(\frac{x}{2}) - \sin(\frac{3x}{2})}{4}$

したがって、

$\int_0^{2\pi} \sin^3(\frac{x}{2}) dx = \int_0^{2\pi} \frac{3\sin(\frac{x}{2}) - \sin(\frac{3x}{2})}{4} dx = \frac{1}{4} \int_0^{2\pi} (3\sin(\frac{x}{2}) - \sin(\frac{3x}{2})) dx$

$= \frac{1}{4} [-6\cos(\frac{x}{2}) + \frac{2}{3}\cos(\frac{3x}{2})]_0^{2\pi}$

$= \frac{1}{4} [(-6\cos(\pi) + \frac{2}{3}\cos(3\pi)) - (-6\cos(0) + \frac{2}{3}\cos(0))]$

$= \frac{1}{4} [(-6(-1) + \frac{2}{3}(-1)) - (-6(1) + \frac{2}{3}(1))] = \frac{1}{4} [(6 - \frac{2}{3}) - (-6 + \frac{2}{3})]$

$= \frac{1}{4} (6 - \frac{2}{3} + 6 - \frac{2}{3}) = \frac{1}{4} (12 - \frac{4}{3}) = \frac{1}{4} (\frac{36 - 4}{3}) = \frac{1}{4} (\frac{32}{3}) = \frac{8}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $3\pi$

(2) $\frac{8}{3}$