与えられた問題は以下の3つです。 (1) $\arctan(x)$ の導関数が $\frac{1}{x^2+1}$ であることを示す。 (2) 不定積分 $\int \frac{x}{(x+2)\sqrt{x+1}} dx$ を求める。 (3) 定積分 $\int_{-1}^{2} \frac{x}{(x+2)\sqrt{x+1}} dx = a + b\pi$ を満たす実数 $a$ と $b$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた問題は以下の3つです。

(1) $\arctan(x)$ の導関数が $\frac{1}{x^2+1}$ であることを示す。

(2) 不定積分 $\int \frac{x}{(x+2)\sqrt{x+1}} dx$ を求める。

(3) 定積分 $\int_{-1}^{2} \frac{x}{(x+2)\sqrt{x+1}} dx = a + b\pi$ を満たす実数 $a$ と $b$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\arctan(x)$ の導関数を示す。

$y = \arctan(x)$ とすると、$x = \tan(y)$ となる。

両辺を $x$ で微分すると、

$1 = \frac{d}{dx} \tan(y) = \frac{d}{dy} \tan(y) \cdot \frac{dy}{dx} = \sec^2(y) \cdot \frac{dy}{dx}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2(y)} = \frac{1}{1+\tan^2(y)} = \frac{1}{1+x^2}$

よって、$(\arctan(x))' = \frac{1}{x^2+1}$ が示された。

(2) 不定積分を求める。

$t = \sqrt{x+1}$ と置換すると、$x = t^2 - 1$、$dx = 2t dt$ となる。

$\int \frac{x}{(x+2)\sqrt{x+1}} dx = \int \frac{t^2-1}{(t^2-1+2)t} 2t dt = \int \frac{2(t^2-1)}{t^2+1} dt = 2\int \frac{t^2+1-2}{t^2+1} dt = 2\int (1 - \frac{2}{t^2+1}) dt = 2\int dt - 4\int \frac{1}{t^2+1} dt = 2t - 4\arctan(t) + C = 2\sqrt{x+1} - 4\arctan(\sqrt{x+1}) + C$

(3) 定積分を計算する。

$\int_{-1}^{2} \frac{x}{(x+2)\sqrt{x+1}} dx = [2\sqrt{x+1} - 4\arctan(\sqrt{x+1})]_{-1}^{2}$

$= (2\sqrt{2+1} - 4\arctan(\sqrt{2+1})) - \lim_{x\to -1^+} (2\sqrt{x+1} - 4\arctan(\sqrt{x+1}))$

$= (2\sqrt{3} - 4\arctan(\sqrt{3})) - (2\sqrt{0} - 4\arctan(\sqrt{0}))$

$= 2\sqrt{3} - 4(\frac{\pi}{3}) - 0 + 4(0)$

$= 2\sqrt{3} - \frac{4\pi}{3}$

したがって、$a = 2\sqrt{3}$、$b = -\frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $(\arctan(x))' = \frac{1}{x^2+1}$

(2) $\int \frac{x}{(x+2)\sqrt{x+1}} dx = 2\sqrt{x+1} - 4\arctan(\sqrt{x+1}) + C$

(3) $a = 2\sqrt{3}$, $b = -\frac{4}{3}$