パラメータ表示された曲線 $C: x=t-\sin{t}, y=1-\cos{t} (0 \le t \le 2\pi)$ について、以下の問いに答える。 (1) $\frac{dy}{dx}$ を $t$ を用いて表す。 (2) $C$ と $x$ 軸が囲む部分の面積 $S_1$ を求める。 (3) $C$ の長さ $L$ を求める。 (4) $C$ を $x$ 軸のまわりに回転させてできる回転体の体積 $V$ を求める。 (5) $C$ を $x$ 軸のまわりに回転させてできる回転体の面積 $S_2$ を求める。

1. 問題の内容

パラメータ表示された曲線 $C: x=t-\sin{t}, y=1-\cos{t} (0 \le t \le 2\pi)$ について、以下の問いに答える。

(1) $\frac{dy}{dx}$ を $t$ を用いて表す。

(2) $C$ と $x$ 軸が囲む部分の面積 $S_1$ を求める。

(3) $C$ の長さ $L$ を求める。

(4) $C$ を $x$ 軸のまわりに回転させてできる回転体の体積 $V$ を求める。

(5) $C$ を $x$ 軸のまわりに回転させてできる回転体の面積 $S_2$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{dy}{dx}$ を $t$ を用いて表す。

$\frac{dx}{dt} = 1 - \cos{t}$

$\frac{dy}{dt} = \sin{t}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\sin{t}}{1 - \cos{t}}$

(2) $C$ と $x$ 軸が囲む部分の面積 $S_1$ を求める。

$S_1 = \int_0^{2\pi} y dx = \int_0^{2\pi} (1 - \cos{t}) (1 - \cos{t}) dt = \int_0^{2\pi} (1 - 2\cos{t} + \cos^2{t}) dt$

$\cos^2{t} = \frac{1 + \cos{2t}}{2}$

$S_1 = \int_0^{2\pi} (1 - 2\cos{t} + \frac{1 + \cos{2t}}{2}) dt = \int_0^{2\pi} (\frac{3}{2} - 2\cos{t} + \frac{1}{2}\cos{2t}) dt$

$S_1 = [\frac{3}{2}t - 2\sin{t} + \frac{1}{4}\sin{2t}]_0^{2\pi} = \frac{3}{2}(2\pi) - 0 + 0 - (0 - 0 + 0) = 3\pi$

(3) $C$ の長さ $L$ を求める。

$L = \int_0^{2\pi} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt = \int_0^{2\pi} \sqrt{(1 - \cos{t})^2 + (\sin{t})^2} dt$

$L = \int_0^{2\pi} \sqrt{1 - 2\cos{t} + \cos^2{t} + \sin^2{t}} dt = \int_0^{2\pi} \sqrt{2 - 2\cos{t}} dt = \int_0^{2\pi} \sqrt{2(1 - \cos{t})} dt$

$1 - \cos{t} = 2\sin^2{\frac{t}{2}}$

$L = \int_0^{2\pi} \sqrt{4\sin^2{\frac{t}{2}}} dt = \int_0^{2\pi} 2|\sin{\frac{t}{2}}| dt = \int_0^{2\pi} 2\sin{\frac{t}{2}} dt$

$L = [-4\cos{\frac{t}{2}}]_0^{2\pi} = -4\cos{\pi} - (-4\cos{0}) = -4(-1) + 4(1) = 4 + 4 = 8$

(4) $C$ を $x$ 軸のまわりに回転させてできる回転体の体積 $V$ を求める。

$V = \int_0^{2\pi} \pi y^2 dx = \pi \int_0^{2\pi} (1 - \cos{t})^2 (1 - \cos{t}) dt = \pi \int_0^{2\pi} (1 - \cos{t})^3 dt$

$V = \pi \int_0^{2\pi} (1 - 3\cos{t} + 3\cos^2{t} - \cos^3{t}) dt$

$\cos^2{t} = \frac{1 + \cos{2t}}{2}$

$\cos^3{t} = \cos{t} (1 - \sin^2{t})$

$V = \pi \int_0^{2\pi} (1 - 3\cos{t} + 3(\frac{1 + \cos{2t}}{2}) - \cos{t} + \cos{t}\sin^2{t}) dt$

$V = \pi \int_0^{2\pi} (1 - 3\cos{t} + \frac{3}{2} + \frac{3}{2}\cos{2t} - \cos{t} + \cos{t}\sin^2{t}) dt$

$V = \pi \int_0^{2\pi} (\frac{5}{2} - 4\cos{t} + \frac{3}{2}\cos{2t} + \cos{t}\sin^2{t}) dt$

$V = \pi [\frac{5}{2}t - 4\sin{t} + \frac{3}{4}\sin{2t} + \frac{1}{3}\sin^3{t}]_0^{2\pi}$

$V = \pi [\frac{5}{2}(2\pi) - 0 + 0 + 0 - (0)] = 5\pi^2$

(5) $C$ を $x$ 軸のまわりに回転させてできる回転体の面積 $S_2$ を求める。

$S_2 = \int_0^{2\pi} 2\pi y \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt = 2\pi \int_0^{2\pi} (1 - \cos{t})\sqrt{(1 - \cos{t})^2 + \sin^2{t}} dt$

$S_2 = 2\pi \int_0^{2\pi} (1 - \cos{t})\sqrt{2 - 2\cos{t}} dt = 2\pi \int_0^{2\pi} (1 - \cos{t})2|\sin{\frac{t}{2}}| dt = 4\pi \int_0^{2\pi} (1 - \cos{t})\sin{\frac{t}{2}} dt$

$1 - \cos{t} = 2\sin^2{\frac{t}{2}}$

$S_2 = 4\pi \int_0^{2\pi} 2\sin^2{\frac{t}{2}}\sin{\frac{t}{2}} dt = 8\pi \int_0^{2\pi} \sin^3{\frac{t}{2}} dt = 8\pi \int_0^{2\pi} \sin{\frac{t}{2}}(1 - \cos^2{\frac{t}{2}}) dt$

Let $u = \cos{\frac{t}{2}}$, $du = -\frac{1}{2}\sin{\frac{t}{2}}dt$, $-2du = \sin{\frac{t}{2}}dt$

When $t = 0, u = 1$, when $t = 2\pi, u = -1$

$S_2 = 8\pi \int_1^{-1} (1 - u^2)(-2) du = -16\pi \int_1^{-1} (1 - u^2) du = 16\pi \int_{-1}^1 (1 - u^2) du$

$S_2 = 16\pi [u - \frac{u^3}{3}]_{-1}^1 = 16\pi [(1 - \frac{1}{3}) - (-1 + \frac{1}{3})] = 16\pi [\frac{2}{3} - (-\frac{2}{3})] = 16\pi (\frac{4}{3}) = \frac{64\pi}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{\sin{t}}{1 - \cos{t}}$

(2) $S_1 = 3\pi$

(3) $L = 8$

(4) $V = 5\pi^2$

(5) $S_2 = \frac{64\pi}{3}$