$\log(1+x)$ のマクローリン展開を求める問題です。

1. 問題の内容

$\log(1+x)$ のマクローリン展開を求める問題です。

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、関数 $f(x)$ を $x=0$ の周りでべき級数として表すもので、以下の式で与えられます。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$

ここで、$f(x) = \log(1+x)$ とします。まず、$f(x)$ の導関数をいくつか計算します。

$f(x) = \log(1+x)$

$f'(x) = \frac{1}{1+x}$

$f''(x) = -\frac{1}{(1+x)^2}$

$f'''(x) = \frac{2}{(1+x)^3}$

$f^{(4)}(x) = -\frac{6}{(1+x)^4}$

これらの導関数を $x=0$ で評価します。

$f(0) = \log(1+0) = \log(1) = 0$

$f'(0) = \frac{1}{1+0} = 1$

$f''(0) = -\frac{1}{(1+0)^2} = -1$

$f'''(0) = \frac{2}{(1+0)^3} = 2$

$f^{(4)}(0) = -\frac{6}{(1+0)^4} = -6$

一般的に、$f^{(n)}(0) = (-1)^{n-1}(n-1)!$ $(n \ge 1)$ と推測できます。

これをマクローリン展開の式に代入します。

$\log(1+x) = 0 + 1\cdot x + \frac{-1}{2!}x^2 + \frac{2}{3!}x^3 + \frac{-6}{4!}x^4 + \cdots$

$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots$

したがって、$\log(1+x)$ のマクローリン展開は、次のようになります。

$\log(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}$

3. 最終的な答え

$\log(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots$