(1) 条件 $f(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0$ の下で、$h(x, y) = xy$ の最大値と最小値を求めよ。 (2) 条件 $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy = 0$ の下で、$h(x, y) = x^2 + y^2$ の極値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 条件 $f(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0$ の下で、$h(x, y) = xy$ の最大値と最小値を求めよ。

(2) 条件 $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy = 0$ の下で、$h(x, y) = x^2 + y^2$ の極値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 条件 $x^2 + y^2 = 1$ の下で、$xy$ の最大値と最小値を求める。

$x = \cos\theta$, $y = \sin\theta$ と置くと、

$xy = \cos\theta \sin\theta = \frac{1}{2} \sin 2\theta$

$-1 \le \sin 2\theta \le 1$ より、

$-\frac{1}{2} \le xy \le \frac{1}{2}$

$xy = \frac{1}{2}$ となるのは、$\sin 2\theta = 1$ のとき。つまり、$2\theta = \frac{\pi}{2}$ より $\theta = \frac{\pi}{4}$ のとき。

このとき、$x = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$、$y = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$xy = -\frac{1}{2}$ となるのは、$\sin 2\theta = -1$ のとき。つまり、$2\theta = -\frac{\pi}{2}$ より $\theta = -\frac{\pi}{4}$ のとき。

このとき、$x = \cos(-\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$、$y = \sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

(2) 条件 $x^3 + y^3 - 3xy = 0$ の下で、$x^2 + y^2$ の極値を求める。

ラグランジュの未定乗数法を用いる。

$L(x, y, \lambda) = x^2 + y^2 - \lambda(x^3 + y^3 - 3xy)$

$\frac{\partial L}{\partial x} = 2x - \lambda(3x^2 - 3y) = 0$

$\frac{\partial L}{\partial y} = 2y - \lambda(3y^2 - 3x) = 0$

$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = x^3 + y^3 - 3xy = 0$

$2x = \lambda(3x^2 - 3y)$

$2y = \lambda(3y^2 - 3x)$

$\lambda = \frac{2x}{3x^2 - 3y} = \frac{2y}{3y^2 - 3x}$

$x(3y^2 - 3x) = y(3x^2 - 3y)$

$3xy^2 - 3x^2 = 3x^2y - 3y^2$

$3xy(y - x) + 3(y^2 - x^2) = 0$

$3xy(y - x) + 3(y - x)(y + x) = 0$

$3(y - x)(xy + y + x) = 0$

よって、$y = x$ または $xy + x + y = 0$

$y = x$ のとき、$x^3 + x^3 - 3x^2 = 0$ より、$2x^3 - 3x^2 = 0$, $x^2(2x - 3) = 0$

$x = 0$ または $x = \frac{3}{2}$

$x = 0$ のとき $y = 0$ より、$x^2 + y^2 = 0$

$x = \frac{3}{2}$ のとき $y = \frac{3}{2}$ より、$x^2 + y^2 = \frac{9}{4} + \frac{9}{4} = \frac{9}{2}$

$xy + x + y = 0$ のとき、$x + y = -xy$ より、$y = - \frac{x}{x + 1}$

これを $x^3 + y^3 - 3xy = 0$ に代入して解く。

$x=0$ならば、$y=0$となり、$x^2+y^2=0$

上記から、$h(x,y)=x^2+y^2$の極値は、$0$と$\frac{9}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $\frac{1}{2}$, 最小値: $-\frac{1}{2}$

(2) 極値: $0$, $\frac{9}{2}$