問題は、$a > 0$ を定数とするとき、以下の2つの積分公式を証明せよというものです。 (1) $\int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1} \frac{x}{a} + C$ (2) $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \sin^{-1} \frac{x}{a} + C$

1. 問題の内容

問題は、$a > 0$ を定数とするとき、以下の2つの積分公式を証明せよというものです。

(1) $\int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1} \frac{x}{a} + C$

(2) $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \sin^{-1} \frac{x}{a} + C$

2. 解き方の手順

(1) の証明:

まず、右辺の微分を計算し、それが被積分関数に等しいことを示します。

$\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{a} \tan^{-1} \frac{x}{a} + C \right) = \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{1 + (\frac{x}{a})^2} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{a^2} \cdot \frac{1}{1 + \frac{x^2}{a^2}} = \frac{1}{a^2} \cdot \frac{a^2}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a^2 + x^2}$

したがって、$\int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1} \frac{x}{a} + C$ が成り立ちます。

(2) の証明:

同様に、右辺の微分を計算し、それが被積分関数に等しいことを示します。

$\frac{d}{dx} \left( \sin^{-1} \frac{x}{a} + C \right) = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{x}{a})^2}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{\sqrt{\frac{a^2 - x^2}{a^2}}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{\frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{|a|}} \cdot \frac{1}{a}$

$a>0$ より $|a| = a$ なので、

$\frac{1}{\frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{a}{\sqrt{a^2 - x^2}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}$

したがって、$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \sin^{-1} \frac{x}{a} + C$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $\int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1} \frac{x}{a} + C$

(2) $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \sin^{-1} \frac{x}{a} + C$