関数 $h(x, y) = x^2 + xy + y^2 - ax - by$ の極値を求める。

1. 問題の内容

関数 $h(x, y) = x^2 + xy + y^2 - ax - by$ の極値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 偏微分を計算する。

$h_x = \frac{\partial h}{\partial x} = 2x + y - a$

$h_y = \frac{\partial h}{\partial y} = x + 2y - b$

(2) 連立方程式 $h_x = 0$ かつ $h_y = 0$ を解き、停留点を求める。

$2x + y - a = 0$

$x + 2y - b = 0$

この連立方程式を解くと、

$y = \frac{2b - a}{3}$

$x = \frac{2a - b}{3}$

停留点は $(\frac{2a - b}{3}, \frac{2b - a}{3})$

(3) ヘッセ行列式を計算する。

$h_{xx} = \frac{\partial^2 h}{\partial x^2} = 2$

$h_{yy} = \frac{\partial^2 h}{\partial y^2} = 2$

$h_{xy} = \frac{\partial^2 h}{\partial x \partial y} = 1$

ヘッセ行列式 $D = h_{xx}h_{yy} - (h_{xy})^2 = 2 \cdot 2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$

$D > 0$ かつ $h_{xx} > 0$ なので、停留点 $(\frac{2a - b}{3}, \frac{2b - a}{3})$ は極小値を与える。

(4) 極小値を計算する。

$h(\frac{2a - b}{3}, \frac{2b - a}{3}) = (\frac{2a - b}{3})^2 + (\frac{2a - b}{3})(\frac{2b - a}{3}) + (\frac{2b - a}{3})^2 - a(\frac{2a - b}{3}) - b(\frac{2b - a}{3})$

$= \frac{1}{9}(4a^2 - 4ab + b^2) + \frac{1}{9}(4ab - 2a^2 - 2b^2 + ab) + \frac{1}{9}(4b^2 - 4ab + a^2) - \frac{1}{3}(2a^2 - ab) - \frac{1}{3}(2b^2 - ab)$

$= \frac{1}{9}(4a^2 - 4ab + b^2 + 4ab - 2a^2 - 2b^2 + ab + 4b^2 - 4ab + a^2 - 6a^2 + 3ab - 6b^2 + 3ab)$

$= \frac{1}{9}(-3a^2 - 3b^2 - 0ab) = -\frac{1}{3}(a^2 + b^2)$

$= -\frac{a^2 + b^2 -2ab}{3} - \frac{2ab}{3}$

$= -\frac{1}{3} (a^2 + b^2 +ab)$

$h(\frac{2a - b}{3}, \frac{2b - a}{3}) = \frac{1}{9}[ (4a^2+b^2 - 4ab) + (4ab-2a^2-2b^2+ab)+ (a^2+4b^2-4ab) -3a(2a-b) -3b(2b-a)]$

$= \frac{1}{9}[ 5a^2 + 5b^2 -4ab -6a^2 + 3ab - 6b^2 + 3ab] = \frac{1}{9}(-a^2 -b^2 +2ab)$

$= -\frac{a^2 +b^2 +0ab}{3}$

$= \frac{-a^2 - b^2}{3}$

$h(\frac{2a-b}{3},\frac{2b-a}{3}) = - (a^2 + b^2 - ab) /3$

$h(\frac{2a-b}{3},\frac{2b-a}{3}) = \frac{1}{9}[4a^2-4ab+b^2+4ab-2a^2-2b^2+a^2+4b^2-4ab-6a^2+3ab-6b^2+3ab]$

$=\frac{1}{9}[-3a^2+0ab-3b^2]$

3. 最終的な答え

極値は $(\frac{2a - b}{3}, \frac{2b - a}{3})$ で極小値 $-\frac{1}{3}(a^2+b^2-ab)$をとる.

極値は $(\frac{2a-b}{3},\frac{2b-a}{3})$ であり、その時の値は

$f = -1/3*(a^2 + b^2-ab)$