$a$ を定数とする。方程式 $2x - 1 = ae^{-x}$ の異なる実数解の個数を求めよ。ただし、$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x} = 0$ を用いてよい。

1. 問題の内容

$a$ を定数とする。方程式 $2x - 1 = ae^{-x}$ の異なる実数解の個数を求めよ。ただし、$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x} = 0$ を用いてよい。

2. 解き方の手順

与えられた方程式 $2x - 1 = ae^{-x}$ の異なる実数解の個数を求めるために、関数 $f(x) = 2x - 1$ と $g(x) = ae^{-x}$ のグラフの交点の個数を考える。

$ae^{-x} = 2x - 1$ を変形して $a = (2x - 1)e^x$ とする。

ここで、$h(x) = (2x - 1)e^x$ とおき、$y = h(x)$ のグラフと $y = a$ のグラフの交点の個数を調べればよい。

$h(x)$ を微分すると、

$h'(x) = 2e^x + (2x - 1)e^x = (2x + 1)e^x$

$h'(x) = 0$ となるのは $2x + 1 = 0$ のときなので、$x = -\frac{1}{2}$。

増減表は以下のようになる。

| x | ... | -1/2 | ... |

|--------|------------|----------|-----------|

| h'(x) | - | 0 | + |

| h(x) | $\searrow$ | 極小値 | $\nearrow$ |

$x = -\frac{1}{2}$ のとき、$h(-\frac{1}{2}) = (2(-\frac{1}{2}) - 1)e^{-\frac{1}{2}} = -2e^{-\frac{1}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{e}}$

$\lim_{x \to \infty} h(x) = \lim_{x \to \infty} (2x - 1)e^x = \infty$

$\lim_{x \to -\infty} h(x) = \lim_{x \to -\infty} (2x - 1)e^x = 0$ (∵ $\lim_{x \to -\infty} xe^x = 0$)

よって、$y = h(x)$ のグラフは、$x = -\frac{1}{2}$ で極小値 $-\frac{2}{\sqrt{e}}$ をとり、$x \to \infty$ で $y \to \infty$, $x \to -\infty$ で $y \to 0$ となる。

したがって、$y = a$ と $y = h(x)$ のグラフの交点の個数は、

$a < -\frac{2}{\sqrt{e}}$ のとき 0 個

$a = -\frac{2}{\sqrt{e}}$ のとき 1 個

$-\frac{2}{\sqrt{e}} < a \le 0$ のとき 2 個

$a > 0$ のとき 1 個

3. 最終的な答え

$a < -\frac{2}{\sqrt{e}}$ のとき 0 個

$a = -\frac{2}{\sqrt{e}}$ のとき 1 個

$-\frac{2}{\sqrt{e}} < a < 0$ のとき 2 個

$a = 0$ のとき 1 個

$a > 0$ のとき 1 個