与えられた3つの二変数関数 $h(x,y)$ について、それぞれの極値を求める問題です。 (1) $h(x,y) = 3x^2 - 5xy + 3y^2 - x - y$ (2) $h(x,y) = -x^2 + xy - y^2 + 4x - 2y$ (3) $h(x,y) = xy + x^{-1} + 8y^{-1}$

1. 問題の内容

与えられた3つの二変数関数 $h(x,y)$ について、それぞれの極値を求める問題です。

(1) $h(x,y) = 3x^2 - 5xy + 3y^2 - x - y$

(2) $h(x,y) = -x^2 + xy - y^2 + 4x - 2y$

(3) $h(x,y) = xy + x^{-1} + 8y^{-1}$

2. 解き方の手順

各関数について、以下の手順で極値を求めます。

(1) 偏導関数 $h_x$ と $h_y$ を計算します。

(2) 連立方程式 $h_x = 0$ かつ $h_y = 0$ を解き、停留点を求めます。

(3) ヘッセ行列を計算し、停留点におけるヘッセ行列の行列式の符号を調べます。

- 行列式が正で、$h_{xx}$ が正ならば極小値、負ならば極大値です。

- 行列式が負ならば鞍点です。

- 行列式がゼロの場合は、さらに検討が必要です。

(1) $h(x,y) = 3x^2 - 5xy + 3y^2 - x - y$

$h_x = 6x - 5y - 1$

$h_y = -5x + 6y - 1$

$6x - 5y - 1 = 0$

$-5x + 6y - 1 = 0$

これを解くと $x = 1, y = 1$

$h_{xx} = 6$

$h_{yy} = 6$

$h_{xy} = -5$

ヘッセ行列は

$H = \begin{pmatrix} 6 & -5 \\ -5 & 6 \end{pmatrix}$

$\det(H) = 36 - 25 = 11 > 0$

$h_{xx} = 6 > 0$ なので、$(1, 1)$ で極小値をとります。

極小値は $h(1, 1) = 3 - 5 + 3 - 1 - 1 = -1$

(2) $h(x,y) = -x^2 + xy - y^2 + 4x - 2y$

$h_x = -2x + y + 4$

$h_y = x - 2y - 2$

$-2x + y + 4 = 0$

$x - 2y - 2 = 0$

これを解くと $x = 2, y = 0$

$h_{xx} = -2$

$h_{yy} = -2$

$h_{xy} = 1$

ヘッセ行列は

$H = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$

$\det(H) = 4 - 1 = 3 > 0$

$h_{xx} = -2 < 0$ なので、$(2, 0)$ で極大値をとります。

極大値は $h(2, 0) = -4 + 0 - 0 + 8 - 0 = 4$

(3) $h(x,y) = xy + x^{-1} + 8y^{-1}$

$h_x = y - x^{-2}$

$h_y = x - 8y^{-2}$

$y - x^{-2} = 0$

$x - 8y^{-2} = 0$

$y = x^{-2}$

$x = 8y^{-2}$

$x = 8(x^{-2})^{-2} = 8x^4$

$x^3 = \frac{1}{8}$

$x = \frac{1}{2}$

$y = (\frac{1}{2})^{-2} = 4$

$h_{xx} = 2x^{-3}$

$h_{yy} = 16y^{-3}$

$h_{xy} = 1$

$h_{xx}(\frac{1}{2}, 4) = 2 (\frac{1}{2})^{-3} = 2 \cdot 8 = 16$

$h_{yy}(\frac{1}{2}, 4) = 16 (4)^{-3} = 16 \cdot \frac{1}{64} = \frac{1}{4}$

$h_{xy}(\frac{1}{2}, 4) = 1$

ヘッセ行列は

$H = \begin{pmatrix} 16 & 1 \\ 1 & \frac{1}{4} \end{pmatrix}$

$\det(H) = 16 \cdot \frac{1}{4} - 1 = 4 - 1 = 3 > 0$

$h_{xx} = 16 > 0$ なので、$(\frac{1}{2}, 4)$ で極小値をとります。

極小値は $h(\frac{1}{2}, 4) = \frac{1}{2} \cdot 4 + (\frac{1}{2})^{-1} + 8 (4)^{-1} = 2 + 2 + 2 = 6$

3. 最終的な答え

(1) $(x,y) = (1,1)$ で極小値 $-1$

(2) $(x,y) = (2,0)$ で極大値 $4$

(3) $(x,y) = (\frac{1}{2},4)$ で極小値 $6$