関数 $f(x) = \frac{1}{2}\{\log(1+x) - \log(1-x)\}$ の3次の項までのマクローリン展開を求める。剰余項は求めなくてよい。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{2}\{\log(1+x) - \log(1-x)\}$ の3次の項までのマクローリン展開を求める。剰余項は求めなくてよい。

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、関数を原点周りでテイラー展開したものである。

$\log(1+x)$ のマクローリン展開と $\log(1-x)$ のマクローリン展開をそれぞれ求め、それらの差を計算し、係数 $\frac{1}{2}$ を掛けることで $f(x)$ のマクローリン展開を求める。

$\log(1+x)$ のマクローリン展開は、

$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots$

$\log(1-x)$ のマクローリン展開は、$\log(1+x)$ の $x$ を $-x$ で置き換えることで得られる。

$\log(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} - \dots$

よって、

$\log(1+x) - \log(1-x) = (x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots) - (-x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \dots) = 2x + \frac{2x^3}{3} + \dots$

したがって、

$f(x) = \frac{1}{2}\{\log(1+x) - \log(1-x)\} = \frac{1}{2}(2x + \frac{2x^3}{3} + \dots) = x + \frac{x^3}{3} + \dots$

3次の項までなので、$x + \frac{x^3}{3}$ が答えとなる。

3. 最終的な答え

$x + \frac{x^3}{3}$