次の5つの定積分を計算する問題です。 (1) $\int_{1}^{9} \sqrt{x} dx$ (2) $\int_{2}^{4} (x+1)(x-2)^4 dx$ (3) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 6\sin^2 x dx$ (4) $\int_{0}^{\log 3} 6e^{2x} dx$ (5) $\int_{0}^{1} xe^{-3x} dx$

1. 問題の内容

次の5つの定積分を計算する問題です。

(1) $\int_{1}^{9} \sqrt{x} dx$

(2) $\int_{2}^{4} (x+1)(x-2)^4 dx$

(3) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 6\sin^2 x dx$

(4) $\int_{0}^{\log 3} 6e^{2x} dx$

(5) $\int_{0}^{1} xe^{-3x} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{1}^{9} \sqrt{x} dx$

$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$なので、不定積分は $\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}$です。

したがって、

$\int_{1}^{9} \sqrt{x} dx = \left[\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\right]_{1}^{9} = \frac{2}{3}(9^{\frac{3}{2}} - 1^{\frac{3}{2}}) = \frac{2}{3}(27 - 1) = \frac{2}{3}(26) = \frac{52}{3}$

(2) $\int_{2}^{4} (x+1)(x-2)^4 dx$

$u = x-2$とおくと、$x = u+2$、$x+1 = u+3$、$dx = du$。積分区間は$2 \to 4$から $0 \to 2$に変わります。

$\int_{2}^{4} (x+1)(x-2)^4 dx = \int_{0}^{2} (u+3)u^4 du = \int_{0}^{2} (u^5 + 3u^4) du = \left[\frac{1}{6}u^6 + \frac{3}{5}u^5\right]_{0}^{2} = \frac{1}{6}(2^6) + \frac{3}{5}(2^5) = \frac{64}{6} + \frac{96}{5} = \frac{32}{3} + \frac{96}{5} = \frac{160+288}{15} = \frac{448}{15}$

(3) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 6\sin^2 x dx$

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$を使うと、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 6\sin^2 x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 6\left(\frac{1 - \cos(2x)}{2}\right) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (3 - 3\cos(2x)) dx = \left[3x - \frac{3}{2}\sin(2x)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \left(3\cdot\frac{\pi}{2} - \frac{3}{2}\sin(\pi)\right) - \left(0 - \frac{3}{2}\sin(0)\right) = \frac{3\pi}{2}$

(4) $\int_{0}^{\log 3} 6e^{2x} dx$

$\int 6e^{2x} dx = 3e^{2x}$なので、

$\int_{0}^{\log 3} 6e^{2x} dx = \left[3e^{2x}\right]_{0}^{\log 3} = 3e^{2\log 3} - 3e^{0} = 3e^{\log 3^2} - 3 = 3\cdot 9 - 3 = 27 - 3 = 24$

(5) $\int_{0}^{1} xe^{-3x} dx$

部分積分を使って計算します。$u = x$, $dv = e^{-3x}dx$とすると、$du = dx$, $v = -\frac{1}{3}e^{-3x}$

$\int_{0}^{1} xe^{-3x} dx = \left[-\frac{1}{3}xe^{-3x}\right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} -\frac{1}{3}e^{-3x} dx = -\frac{1}{3}e^{-3} + \frac{1}{3}\int_{0}^{1} e^{-3x} dx = -\frac{1}{3}e^{-3} + \frac{1}{3}\left[-\frac{1}{3}e^{-3x}\right]_{0}^{1} = -\frac{1}{3}e^{-3} - \frac{1}{9}e^{-3} + \frac{1}{9} = \frac{1}{9} - \frac{4}{9}e^{-3} = \frac{1}{9}(1 - 4e^{-3})$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{52}{3}$

(2) $\frac{448}{15}$

(3) $\frac{3\pi}{2}$

(4) $24$

(5) $\frac{1}{9}(1 - 4e^{-3})$