画像には以下の5つの定積分を計算する問題が記載されています。 (2) $\int_{2}^{4} (x+1)(x-2)^4 dx$ (3) $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 6\sin^2 x dx$ (4) $\int_{0}^{\log 3} 6e^{2x} dx$ (5) $\int_{0}^{1} xe^{-3x} dx$

はい、承知いたしました。画像に記載された積分問題を解きます。

1. 問題の内容

画像には以下の5つの定積分を計算する問題が記載されています。

(2) $\int_{2}^{4} (x+1)(x-2)^4 dx$

(3) $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 6\sin^2 x dx$

(4) $\int_{0}^{\log 3} 6e^{2x} dx$

(5) $\int_{0}^{1} xe^{-3x} dx$

2. 解き方の手順

(2) $\int_{2}^{4} (x+1)(x-2)^4 dx$

置換積分を行います。$u = x-2$ とすると、$x = u+2$、$dx = du$。

積分範囲は $x: 2 \to 4$ なので、$u: 0 \to 2$。

したがって、

$\int_{2}^{4} (x+1)(x-2)^4 dx = \int_{0}^{2} (u+3)u^4 du = \int_{0}^{2} (u^5 + 3u^4) du$

$= \left[\frac{u^6}{6} + \frac{3u^5}{5}\right]_{0}^{2} = \frac{2^6}{6} + \frac{3 \cdot 2^5}{5} = \frac{64}{6} + \frac{96}{5} = \frac{32}{3} + \frac{96}{5} = \frac{160+288}{15} = \frac{448}{15}$

(3) $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 6\sin^2 x dx$

三角関数の倍角の公式 $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ より $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$。

したがって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 6\sin^2 x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 6\frac{1-\cos 2x}{2} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (3 - 3\cos 2x) dx$

$= \left[3x - \frac{3}{2}\sin 2x\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \left(3\cdot\frac{\pi}{4} - \frac{3}{2}\sin \frac{\pi}{2}\right) - (0-0) = \frac{3\pi}{4} - \frac{3}{2}$

(4) $\int_{0}^{\log 3} 6e^{2x} dx$

$\int 6e^{2x} dx = 3e^{2x} + C$。したがって、

$\int_{0}^{\log 3} 6e^{2x} dx = \left[3e^{2x}\right]_{0}^{\log 3} = 3e^{2\log 3} - 3e^{0} = 3e^{\log 3^2} - 3 = 3\cdot 9 - 3 = 27 - 3 = 24$

(5) $\int_{0}^{1} xe^{-3x} dx$

部分積分を行います。$u = x$、$dv = e^{-3x} dx$ とすると、$du = dx$、$v = -\frac{1}{3}e^{-3x}$。

$\int u dv = uv - \int v du$ より、

$\int_{0}^{1} xe^{-3x} dx = \left[x\left(-\frac{1}{3}e^{-3x}\right)\right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \left(-\frac{1}{3}e^{-3x}\right) dx = \left[-\frac{1}{3}xe^{-3x}\right]_{0}^{1} + \frac{1}{3}\int_{0}^{1} e^{-3x} dx$

$= -\frac{1}{3}e^{-3} + \frac{1}{3}\left[-\frac{1}{3}e^{-3x}\right]_{0}^{1} = -\frac{1}{3}e^{-3} - \frac{1}{9}e^{-3} + \frac{1}{9}e^{0} = -\frac{1}{3}e^{-3} - \frac{1}{9}e^{-3} + \frac{1}{9} = \frac{1}{9} - \frac{4}{9}e^{-3} = \frac{1}{9} - \frac{4}{9e^3}$

3. 最終的な答え

(2) $\frac{448}{15}$

(3) $\frac{3\pi}{4} - \frac{3}{2}$

(4) $24$

(5) $\frac{1}{9} - \frac{4}{9e^3}$