与えられた関数を微分する問題です。 (1) $y = \sin^4 3x$ (2) $y = \tan^3 2x$ (3) $y = e^{x^3} \sin 2x$ (4) $y = \{\log(x^2 + 1)\}^3$

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。

(1) $y = \sin^4 3x$

(2) $y = \tan^3 2x$

(3) $y = e^{x^3} \sin 2x$

(4) $y = \{\log(x^2 + 1)\}^3$

2. 解き方の手順

(1) $y = \sin^4 3x$ の微分

$y = (\sin 3x)^4$ と考え、合成関数の微分を行います。

$\frac{dy}{dx} = 4(\sin 3x)^3 \cdot (\sin 3x)'$

$(\sin 3x)' = \cos 3x \cdot (3x)' = 3\cos 3x$

$\frac{dy}{dx} = 4(\sin 3x)^3 \cdot 3\cos 3x = 12\sin^3 3x \cos 3x$

(2) $y = \tan^3 2x$ の微分

$y = (\tan 2x)^3$ と考え、合成関数の微分を行います。

$\frac{dy}{dx} = 3(\tan 2x)^2 \cdot (\tan 2x)'$

$(\tan 2x)' = \frac{1}{\cos^2 2x} \cdot (2x)' = \frac{2}{\cos^2 2x} = 2\sec^2 2x$

$\frac{dy}{dx} = 3(\tan 2x)^2 \cdot 2\sec^2 2x = 6\tan^2 2x \sec^2 2x$

(3) $y = e^{x^3} \sin 2x$ の微分

積の微分法と合成関数の微分を行います。

$\frac{dy}{dx} = (e^{x^3})' \sin 2x + e^{x^3} (\sin 2x)'$

$(e^{x^3})' = e^{x^3} \cdot (x^3)' = 3x^2 e^{x^3}$

$(\sin 2x)' = \cos 2x \cdot (2x)' = 2\cos 2x$

$\frac{dy}{dx} = 3x^2 e^{x^3} \sin 2x + 2e^{x^3} \cos 2x = e^{x^3} (3x^2 \sin 2x + 2\cos 2x)$

(4) $y = \{\log(x^2 + 1)\}^3$ の微分

合成関数の微分を行います。

$\frac{dy}{dx} = 3\{\log(x^2 + 1)\}^2 \cdot (\log(x^2 + 1))'$

$(\log(x^2 + 1))' = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot (x^2 + 1)' = \frac{2x}{x^2 + 1}$

$\frac{dy}{dx} = 3\{\log(x^2 + 1)\}^2 \cdot \frac{2x}{x^2 + 1} = \frac{6x\{\log(x^2 + 1)\}^2}{x^2 + 1}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = 12\sin^3 3x \cos 3x$

(2) $\frac{dy}{dx} = 6\tan^2 2x \sec^2 2x$

(3) $\frac{dy}{dx} = e^{x^3} (3x^2 \sin 2x + 2\cos 2x)$

(4) $\frac{dy}{dx} = \frac{6x\{\log(x^2 + 1)\}^2}{x^2 + 1}$