定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 6\sin^2 x dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 6\sin^2 x dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\sin^2 x$ を倍角の公式を使って変形します。

$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ より、$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ となります。

したがって、積分は

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 6\sin^2 x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 6 \cdot \frac{1 - \cos 2x}{2} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 3 (1 - \cos 2x) dx$

となります。

次に、積分を実行します。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 3 (1 - \cos 2x) dx = 3 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (1 - \cos 2x) dx = 3 \left[ x - \frac{1}{2} \sin 2x \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$

$= 3 \left[ \left( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{2} \right) - \left( 0 - \frac{1}{2} \sin 0 \right) \right] = 3 \left[ \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} (1) - (0 - 0) \right]$

$= 3 \left( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \right) = \frac{3\pi}{4} - \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{3\pi}{4} - \frac{3}{2}$